Concepto de matemáticas
La función Mumford-Shah es una función que se utiliza para establecer un criterio de optimalidad para segmentar una imagen en subregiones. Una imagen se modela como una función suave por partes. La función penaliza la distancia entre el modelo y la imagen de entrada, la falta de suavidad del modelo dentro de las subregiones y la longitud de los límites de las subregiones. Al minimizar la función, se puede calcular la mejor segmentación de la imagen. La función fue propuesta por los matemáticos David Mumford y Jayant Shah en 1989. [1]
Definición de la función Mumford-Shah
Consideremos una imagen I con un dominio de definición D , llamemos J al modelo de la imagen y llamemos B a los límites que están asociados con el modelo: la funcional de Mumford–Shah E [ J , B ] se define como
![{\displaystyle E[J,B]=\alpha \int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,\mathrm { d} {\vec {x}}+\beta \int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J( {\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\gamma \int _{B}ds}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La optimización del funcional se puede lograr aproximándolo con otro funcional, como propusieron Ambrosio y Tortorelli. [2]
Minimización de lo funcional
Límite Ambrosio-Tortorelli
Ambrosio y Tortorelli [2] demostraron que el funcional de Mumford–Shah E [ J , B ] puede obtenerse como el límite de una familia de funcionales de energía E [ J , z ,ε ] donde el límite B se reemplaza por la función continua z cuya magnitud indica la presencia de un límite. Su análisis muestra que el funcional de Mumford–Shah tiene un mínimo bien definido. También produce un algoritmo para estimar el mínimo.
Las funciones que definen tienen la siguiente forma:
donde ε > 0 es un parámetro (pequeño) y ϕ ( z ) es una función potencial. Dos opciones típicas para ϕ ( z ) son
- Esta elección asocia el conjunto de aristas B con el conjunto de puntos z tales que ϕ 1 ( z ) ≈ 0
- Esta elección asocia el conjunto de aristas B con el conjunto de puntos z tales que ϕ 2 ( z ) ≈ 1/4
El paso no trivial en su deducción es la prueba de que, cuando , los dos últimos términos de la función de energía (es decir, el último término integral de la función de energía) convergen a la integral del conjunto de aristas ∫ B d s .
La funcional energética E [ J , z ,ε ] se puede minimizar mediante métodos de descenso de gradiente , asegurando la convergencia a un mínimo local.
Ambrosio , Fusco y Hutchinson establecieron un resultado para dar una estimación óptima de la dimensión de Hausdorff del conjunto singular de minimizadores de la energía de Mumford-Shah. [3]
Minimización por división en problemas unidimensionales
El funcional Mumford-Shah se puede dividir en subproblemas unidimensionales acoplados. Los subproblemas se resuelven exactamente mediante programación dinámica. [4]
Véase también
Notas
- ^ Mumford y Shah (1989).
- ^ ab Véase Ambrosio y Tortorelli (1990).
- ^ Ambrosio, Fusco y Hutchinson (2003)
- ^ Hohm, Storath y Weinmann (2015)
Referencias
- Camillo, De Lellis ; Focardi, Matteo; Ruffini, Berardo (octubre de 2013), "Una nota sobre la dimensión de Hausdorff del conjunto singular para minimizadores de la energía de Mumford–Shah", Advances in Calculus of Variations , 7 (4): 539–545, arXiv : 1403.3388 , doi :10.1515/acv-2013-0107, ISSN 1864-8258, S2CID 2040612, Zbl 1304.49091
- Ambrosio, Luigi ; Fusco, Nicola ; Hutchinson, John E. (2003), "Mayor integrabilidad del gradiente y dimensión del conjunto singular para minimizadores del funcional de Mumford-Shah", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 16 (2): 187–215, doi :10.1007/s005260100148, S2CID 55078333, Zbl 1047.49015
- Ambrosio, Luigi ; Tortorelli, Vincenzo Maria (1990), "Aproximación de funcionales dependientes de saltos por funcionales elípticos mediante Γ-convergencia", Communications on Pure and Applied Mathematics , 43 (8): 999–1036, doi :10.1002/cpa.3160430805, MR 1075076, Zbl 0722.49020
- Ambrosio, Luigi ; Fusco, Nicola ; Pallara, Diego (2000). Funciones de variación acotada y problemas de discontinuidad libre . Oxford Mathematical Monographs. Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press . págs. 434. ISBN 9780198502456. Número de serie 0957.49001.
- Mumford, David ; Shah, Jayant (1989), "Aproximaciones óptimas mediante funciones suaves por partes y problemas variacionales asociados" (PDF) , Communications on Pure and Applied Mathematics , XLII (5): 577–685, doi :10.1002/cpa.3160420503, MR 0997568, Zbl 0691.49036
- Hohm, Kilian; Storath, Martin; Weinmann, Andreas (2015), "Un marco algorítmico para la regularización de Mumford–Shah de problemas inversos en imágenes" (PDF) , Inverse Problems , 31 (11): 115011, Bibcode :2015InvPr..31k5011H, doi :10.1088/0266-5611/31/11/115011, S2CID 15365352
![{\displaystyle E[J,B]=\alpha \int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,\mathrm { d} {\vec {x}}+\beta \int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J( {\vec {x}})\,\mathrm {d} {\vec {x}}+\gamma \int _{B}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ae981b6dd1aae26d3d090561295686e26e9eca)
![{\displaystyle E[J,z;\varepsilon ]=\alpha \int (I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,\mathrm {d } {\vec {x}}+\beta \int z({\vec {x}})|{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})|^{2}\,\ mathrm {d} {\vec {x}}+\gamma \int \{\varepsilon |{\vec {\nabla }}z({\vec {x}})|^{2}+\varepsilon ^{- 1}\phi ^{2}(z({\vec {x}}))\}\,\mathrm {d} {\vec {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf4473c4123051a30a4f05102602d5cfe141c8e)
![{\displaystyle \phi _{1}(z)=(1-z^{2})/2\quad z\in [-1,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79dbc75262a8bd74f3266d433750c36f81871dc6)
![{\displaystyle \phi _{2}(z)=z(1-z)\quad z\in [0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24eb3393043b1724e5808ebc4e062aa6936b511)
