Amplitud de dispersión

Amplitud de probabilidad en la teoría de dispersión cuántica

En física cuántica , la amplitud de dispersión es la amplitud de probabilidad de la onda esférica saliente en relación con la onda plana entrante en un proceso de dispersión de estado estacionario . ^[1] A grandes distancias del centro de dispersión simétrico central, la onda plana se describe mediante la función de onda ^[2].

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}$

donde es el vector de posición; ; es la onda plana entrante con el número de onda k a lo largo del eje z ; es la onda esférica saliente; θ es el ángulo de dispersión (ángulo entre la dirección incidente y dispersa); y es la amplitud de dispersión. La dimensión de la amplitud de dispersión es la longitud . La amplitud de dispersión es una amplitud de probabilidad ; la sección transversal diferencial en función del ángulo de dispersión se da como su módulo al cuadrado , ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)}$ ${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle e^{ikz}}$ ${\displaystyle e^{ikr}/r}$ ${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle d\sigma =|f(\theta )|^{2}\;d\Omega .}$

La forma asintótica de la función de onda en un campo externo arbitrario toma la forma ^[2]

${\displaystyle \psi =e^{ikr\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '}+f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

donde es la dirección de las partículas incidentes y es la dirección de las partículas dispersas. ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$

Condición unitaria

Cuando la conservación del número de partículas se cumple durante la dispersión, se llega a una condición unitaria para la amplitud de dispersión. En el caso general, tenemos ^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''}$

El teorema óptico se deduce de aquí estableciendo ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '.}$

En el campo centralmente simétrico, la condición unitaria se convierte en

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

donde y son los ángulos entre y y alguna dirección . Esta condición impone una restricción a la forma permitida para , es decir, la parte real e imaginaria de la amplitud de dispersión no son independientes en este caso. Por ejemplo, si en se conoce (por ejemplo, a partir de la medición de la sección transversal), entonces se puede determinar de tal manera que se determina de manera única dentro de la alternativa . ^[2] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} '}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ''}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle |f(\theta )|}$ ${\displaystyle f=|f|e^{2i\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha (\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle f(\theta )\rightarrow -f^{*}(\theta )}$

Expansión parcial de onda

En la expansión de onda parcial, la amplitud de dispersión se representa como una suma de las ondas parciales, ^[3]

${\displaystyle f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$,

donde f _ℓ es la amplitud de dispersión parcial y P _ℓ son los polinomios de Legendre . La amplitud parcial se puede expresar mediante el elemento de matriz S de onda parcial S _ℓ ( ) y el desplazamiento de fase de dispersión δ _ℓ como ${\displaystyle =e^{2i\delta _{\ell }}}$

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}$

Entonces la sección transversal total ^[4]

${\displaystyle \sigma =\int |f(\theta )|^{2}d\Omega }$,

se puede expandir como ^[2]

${\displaystyle \sigma =\sum _{l=0}^{\infty }\sigma _{l},\quad {\text{where}}\quad \sigma _{l}=4\pi (2l+1)|f_{l}|^{2}={\frac {4\pi }{k^{2}}}(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}}$

es la sección transversal parcial. La sección transversal total también es igual a debido al teorema óptico . ${\displaystyle \sigma =(4\pi /k)\,\mathrm {Im} f(0)}$

Para , podemos escribir ^[2] ${\displaystyle \theta \neq 0}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{2i\delta _{l}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Rayos X

La longitud de dispersión de los rayos X es la longitud de dispersión de Thomson o radio electrónico clásico , r ₀ .

Neutrones

El proceso de dispersión de neutrones nucleares implica la longitud de dispersión de neutrones coherente, a menudo descrita por b .

Formalismo mecánico cuántico

Un enfoque mecánico cuántico viene dado por el formalismo de la matriz S.

Medición

La amplitud de dispersión se puede determinar mediante la longitud de dispersión en el régimen de baja energía.

Véase también

• Amplitud veneciana
• Expansión de onda plana

Referencias

1. Mecánica cuántica: conceptos y aplicaciones Archivado el 10 de noviembre de 2010 en Wayback Machine Por Nouredine Zettili, 2.ª edición, página 623. ISBN  978-0-470-02679-3 Libro de bolsillo 688 páginas Enero de 2009
2. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
3. Michael Fowler/ 17/01/08 Ondas planas y ondas parciales
4. Schiff, Leonard I. (1968). Mecánica cuántica . Nueva York: McGraw Hill. págs. 119-120.