Límite cuántico

Un límite cuántico en física es un límite en la precisión de la medición a escalas cuánticas. ^[1] Dependiendo del contexto, el límite puede ser absoluto (como el límite de Heisenberg ), o puede aplicarse solo cuando el experimento se realiza con estados cuánticos naturales (por ejemplo, el límite cuántico estándar en interferometría) y se puede eludir con esquemas avanzados de preparación y medición de estados.

Sin embargo, el uso del término límite cuántico estándar o SQL es más amplio que el de la interferometría. En principio, cualquier medición lineal de un observable mecánico cuántico de un sistema en estudio que no conmuta consigo mismo en diferentes momentos conduce a tales límites. En resumen, el principio de incertidumbre de Heisenberg es la causa.

Una descripción esquemática de cómo se describe el proceso de medición física en la mecánica cuántica.

Una explicación más detallada sería que cualquier medición en mecánica cuántica involucra al menos dos partes, un Objeto y un Medidor. El primero es el sistema cuyo observable, digamos , queremos medir. El segundo es el sistema que acoplamos al Objeto para inferir el valor de del Objeto registrando algún observable elegido, , de este sistema, por ejemplo la posición del puntero en una escala del Medidor. Esto, en pocas palabras, es un modelo de la mayoría de las mediciones que ocurren en física, conocidas como mediciones indirectas (ver págs. 38-42 de ^[1] ). Entonces, cualquier medición es el resultado de la interacción y que actúa en ambos sentidos. Por lo tanto, el Medidor actúa sobre el Objeto durante cada medición, generalmente a través de la cantidad, , conjugada al observable de lectura , perturbando así el valor del observable medido y modificando los resultados de mediciones posteriores. Esto se conoce como acción posterior (cuántica) del Medidor sobre el sistema bajo medición. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

Al mismo tiempo, la mecánica cuántica prescribe que la lectura observable del medidor debe tener una incertidumbre inherente, , aditiva e independiente del valor de la cantidad medida . Esto se conoce como imprecisión de medición o ruido de medición . Debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , esta imprecisión no puede ser arbitraria y está vinculada a la perturbación de la acción inversa por la relación de incertidumbre : ${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle \Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,}$

donde es una desviación estándar del observable y representa el valor esperado de en cualquier estado cuántico en el que se encuentre el sistema. La igualdad se alcanza si el sistema está en un estado de incertidumbre mínima . La consecuencia para nuestro caso es que cuanto más precisa sea nuestra medición, es decir , cuanto menor sea , mayor será la perturbación que el medidor ejerce sobre el observable medido . Por lo tanto, la lectura del medidor, en general, constará de tres términos: ${\displaystyle \Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \langle {\hat {a}}\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {\delta O}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,}$

donde es un valor de que tendría el objeto si no estuviera acoplado al medidor, y es la perturbación del valor de causada por la fuerza de acción inversa, . La incertidumbre de esta última es proporcional a . Por lo tanto, hay un valor mínimo, o el límite de la precisión que se puede obtener en dicha medición, siempre que y no estén correlacionados. ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {free} }}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {x_{BA}}}[{\hat {\mathcal {F}}}]}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {F}}\propto \Delta {\mathcal {O}}^{-1}}$ ${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

Los términos "límite cuántico" y "límite cuántico estándar" a veces se utilizan indistintamente. Por lo general, "límite cuántico" es un término general que se refiere a cualquier restricción en la medición debido a efectos cuánticos, mientras que el "límite cuántico estándar" en cualquier contexto dado se refiere a un límite cuántico que es omnipresente en ese contexto.

Ejemplos

Medición de desplazamiento

Consideremos un esquema de medición muy simple, que, sin embargo, incorpora todas las características clave de una medición de posición general. En el esquema que se muestra en la Figura, se utiliza una secuencia de pulsos de luz muy cortos para monitorear el desplazamiento de un cuerpo de sonda . La posición de se sondea periódicamente con un intervalo de tiempo . Suponemos que la masa es lo suficientemente grande como para ignorar el desplazamiento infligido por la presión de radiación regular (clásica) de los pulsos en el curso del proceso de medición. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle M}$

Esquema simplificado de medición óptica de la posición de un objeto mecánico

Luego, cada pulso -ésimo, cuando se refleja, lleva un cambio de fase proporcional al valor de la posición de la masa de prueba en el momento de la reflexión: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x(t_{j})}$

donde , es la frecuencia de la luz, es el número de pulsos y es la fase inicial (aleatoria) del pulso -ésimo. Suponemos que el valor medio de todas estas fases es igual a cero, y su incertidumbre cuadrática media (RMS) es igual a . ${\displaystyle k_{p}=\omega _{p}/c}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0}$ ${\displaystyle (\langle {\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

Los pulsos reflejados son detectados por un dispositivo sensible a la fase (el detector de fase). La implementación de un detector de fase óptico puede realizarse utilizando, por ejemplo, esquemas de detección homodino o heterodino (véase la Sección 2.3 en ^[2] y las referencias allí citadas), u otras técnicas de lectura similares.

En este ejemplo, la fase del pulso de luz sirve como el indicador de lectura del medidor. Supongamos entonces que el error de medición de fase introducido por el detector es mucho menor que la incertidumbre inicial de las fases . En este caso, la incertidumbre inicial será la única fuente del error de medición de posición: ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

Para mayor comodidad, renormalizamos la ecuación ( 1 ) como el desplazamiento de masa de prueba equivalente:

dónde

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}}$

son los valores aleatorios independientes con las incertidumbres RMS dadas por la ecuación. ( 2 ).

Al reflexionar, cada pulso de luz patea la masa de prueba, transfiriéndole un momento de contraacción igual a

donde y son los valores de momento de la masa de prueba justo antes y justo después de la reflexión del pulso de luz, y es la energía del pulso -ésimo, que desempeña el papel de la acción inversa observable del medidor. La mayor parte de esta perturbación es aportada por la presión de radiación clásica: ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,}$

con la energía media de los pulsos. Por lo tanto, se podría despreciar su efecto, ya que podría restarse del resultado de la medición o compensarse mediante un actuador. La parte aleatoria, que no se puede compensar, es proporcional a la desviación de la energía del pulso: ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

y su incertidumbre RMS es igual a

con la incertidumbre RMS de la energía del pulso. ${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}}$

Suponiendo que el espejo está libre (lo cual es una aproximación justa si el intervalo de tiempo entre pulsos es mucho más corto que el período de oscilaciones del espejo suspendido ), se puede estimar un desplazamiento adicional causado por la acción posterior del pulso -ésimo que contribuirá a la incertidumbre de la medición posterior por el tiempo del pulso posterior: ${\displaystyle \vartheta \ll T}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Su incertidumbre será simplemente

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Si ahora queremos estimar cuánto se ha movido el espejo entre los pulsos y , es decir, su desplazamiento , tendremos que lidiar con tres incertidumbres adicionales que limitan la precisión de nuestra estimación: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,}$

donde asumimos que todas las contribuciones a nuestra incertidumbre de medición son estadísticamente independientes y, por lo tanto, obtuvimos la incertidumbre total mediante la suma de las desviaciones estándar. Si asumimos además que todos los pulsos de luz son similares y tienen la misma incertidumbre de fase, entonces . ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})}$

Ahora bien, ¿cuál es el mínimo de esta suma y cuál es el error mínimo que se puede cometer en esta simple estimación? La respuesta se desprende de la mecánica cuántica, si recordamos que la energía y la fase de cada pulso son observables canónicamente conjugados y, por lo tanto, obedecen a la siguiente relación de incertidumbre:

${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.}$

Por lo tanto, se deduce de las ecuaciones ( 2 y 5 ) que el error de medición de la posición y la perturbación del momento debido a la acción inversa también satisfacen la relación de incertidumbre: ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$ ${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }}$

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.}$

Teniendo en cuenta esta relación, la incertidumbre mínima, , que debe tener el pulso de luz para no perturbar demasiado el espejo, debe ser igual a , para ambos . Por lo tanto, el error mínimo de medición del desplazamiento que prescribe la mecánica cuántica es: ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$ ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }}$ ${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.}$

Este es el límite cuántico estándar para un procedimiento de dos pulsos de este tipo. En principio, si limitamos nuestra medición a solo dos pulsos y no nos preocupamos por la perturbación posterior de la posición del espejo, la incertidumbre de la medición del segundo pulso, , puede, en teoría, reducirse a 0 (obtendremos, por supuesto, ) y el límite del error de medición del desplazamiento se reducirá a: ${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$ ${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty }$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,}$

que se conoce como el Límite Cuántico Estándar para la medición del desplazamiento de masa libre.

Este ejemplo representa un caso particular simple de una medición lineal . Esta clase de esquemas de medición se puede describir completamente mediante dos ecuaciones lineales de la forma ~( 3 ) y ( 4 ), siempre que tanto la incertidumbre de la medición como la perturbación de la retroacción del objeto ( y en este caso) sean estadísticamente independientes del estado cuántico inicial del objeto de prueba y satisfagan la misma relación de incertidumbre que el observable medido y su contraparte conjugada canónicamente (la posición y el momento del objeto en este caso). ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})}$

Uso en óptica cuántica

En el contexto de la interferometría u otras mediciones ópticas, el límite cuántico estándar generalmente se refiere al nivel mínimo de ruido cuántico que se puede obtener sin estados comprimidos . ^[4]

Existe además un límite cuántico para el ruido de fase , que sólo puede alcanzarse mediante un láser a frecuencias de ruido altas.

En espectroscopia , la longitud de onda más corta en un espectro de rayos X se denomina límite cuántico. ^[5]

Relación engañosa con el límite clásico

Obsérvese que debido a una sobrecarga de la palabra "límite", el límite clásico no es lo opuesto del límite cuántico. En "límite cuántico", "límite" se utiliza en el sentido de una limitación física (por ejemplo, el límite de Armstrong ). En "límite clásico", "límite" se utiliza en el sentido de un proceso limitante . (Obsérvese que no existe un límite matemático simple y riguroso que recupere por completo la mecánica clásica de la mecánica cuántica, a pesar del teorema de Ehrenfest . Sin embargo, en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, dichos límites son más sistemáticos y prácticos).

Véase también

• Límite clásico
• Límite de Heisenberg
• Límite ultrarrelativista

Referencias y notas

1. Braginsky, VB; Khalili, F. Ya. (1992). Medición cuántica . Cambridge University Press . ISBN 978-0521484138.
2. Danilishin, SL; Khalili F. Ya. (2012). "Teoría de la medición cuántica en detectores de ondas gravitacionales". Living Reviews in Relativity . 15 (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Bibcode :2012LRR....15....5D. doi : 10.12942/lrr-2012-5 . PMC 5256003 . PMID  28179836. 
3. Chen, Yanbei (2013). "Mecánica cuántica macroscópica: teoría y conceptos experimentales de optomecánica". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys . 46 (10): 104001. arXiv : 1302.1924 . Código Bibliográfico :2013JPhB...46j4001C. doi :10.1088/0953-4075/46/10/104001. S2CID  118570800.
4. Jaekel, MT; Reynaud, S. (1990). "Límites cuánticos en mediciones interferométricas". Europhysics Letters . 13 (4): 301–306. arXiv : quant-ph/0101104 . Código Bibliográfico :1990EL.....13..301J. doi :10.1209/0295-5075/13/4/003. S2CID  250851585.
5. Piston, DS (1936). "La polarización de rayos X a partir de objetivos delgados". Physical Review . 49 (4): 275–279. Código Bibliográfico :1936PhRv...49..275P. doi :10.1103/PhysRev.49.275.