jet bickley

En dinámica de fluidos , el chorro de Bickley es un chorro plano laminar bidimensional estacionario con un gran número de Reynolds que emerge en el fluido en reposo, llamado así en honor a WG Bickley, quien dio la solución analítica en 1937, ^[1] al problema derivado por Schlichting en 1933 ^[2] y el problema correspondiente en coordenadas axisimétricas se denomina chorro de Schlichting . La solución es válida sólo para distancias muy alejadas del origen del chorro.

Descripción del flujo

Consideremos un plano estacionario que emerge en el mismo fluido, una especie de chorros sumergidos desde una rendija estrecha, que se supone es muy pequeña (de modo que el fluido pierde memoria de la forma y el tamaño de la rendija alejada del origen, recuerda). sólo el flujo de impulso neto). Sea la velocidad en coordenadas cartesianas y el eje del chorro sea el eje con origen en el orificio. El flujo es autosimilar para un número de Reynolds grande (el chorro es tan delgado que varía mucho más rápidamente en la dirección transversal que en la dirección de la corriente) y puede aproximarse con ecuaciones de capa límite . ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}&=0,\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}&=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},\end{aligned}}}$

¿Dónde está la viscosidad cinemática y la presión es en todas partes igual a la presión del fluido exterior? Dado que el fluido está en reposo lejos del centro del chorro. ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle u\rightarrow 0}$como , ${\displaystyle y\rightarrow \pm \infty }$

y debido a que el flujo es simétrico con respecto al eje ${\displaystyle x}$

${\displaystyle v=0}$en , ${\displaystyle y=0}$

y además, dado que no existe un límite sólido y la presión es constante, el flujo de impulso a través de cualquier plano normal al eje debe ser el mismo ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle M=2\rho \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy}$

es una constante, donde también es constante para flujo incompresible. ${\displaystyle \rho }$

Prueba de flujo de momento axial constante

La condición de flujo de momento constante se puede obtener integrando la ecuación del momento a través del chorro.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,dy=\left[\nu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right]_{-\infty }^{\infty },\\[10pt]&{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dy=0,\quad \Rightarrow \quad \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy={\text{constant}}.\end{aligned}}}$$

donde se utiliza para simplificar la ecuación anterior. El flujo de masa a través de cualquier sección transversal normal al eje no es constante, porque hay un lento arrastre de fluido externo hacia el chorro y es parte de la solución de la capa límite. Esto se puede verificar fácilmente integrando la ecuación de continuidad a través de la capa límite. $${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial (uv)}{\partial y}}-u{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial (uv)}{\partial y}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}}$$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial v}{\partial y}}\,dy&=0,\\[8pt]{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u\,dy=-{\Big [}v{\Big ]}_{-\infty }^{\infty }&=-2v(x,\infty ).\end{aligned}}}$$

donde se utiliza la condición de simetría. ^{[3] [4]} ${\displaystyle v(x,-\infty )=-v(x,\infty )}$

Solución autosemejante

La solución autosemejante se obtiene introduciendo la transformación a la que se reduce la ecuación mientras las condiciones de contorno se vuelven $${\displaystyle \eta ={\frac {y}{x^{2/3}}},\quad u={\frac {6\nu }{x^{1/3}}}F'(\eta ),\quad v={\frac {2\nu }{x^{2/3}}}(2\eta F'(\eta )-F(\eta ))}$$ $${\displaystyle F'''+2FF''+2F'^{2}=0,}$$ $${\displaystyle F'(\pm \infty )=0,\quad F(0)=0,\quad M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }F'^{2}\,d\eta .}$$

La solución exacta viene dada por donde se resuelve a partir de la siguiente ecuación $${\displaystyle F(\eta )=\alpha \tanh \alpha \eta }$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} ^{4}\eta \,d\eta =48\nu ^{2}\rho \alpha ^{3},\quad \Rightarrow \quad \alpha =\left({\frac {M}{48\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}.}$$

dejando $${\displaystyle \xi =\alpha \eta =0.2752\left({\frac {M}{\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}{\frac {y}{x^{2/3}}},}$$

la velocidad está dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=0.4543\left({\frac {M^{2}}{\nu \rho ^{2}x}}\right)^{1/3}\operatorname {sech} ^{2}\xi ,\\v&=0.5503\left({\frac {M\nu }{\rho x^{2}}}\right)^{1/3}(2\xi \operatorname {sech} ^{2}\xi -\tanh \xi ).\end{aligned}}}$$

El caudal másico a través de un plano a una distancia del orificio normal al chorro es ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle Q=2\rho \int _{0}^{\infty }u\,dy=3.3019\left(M\nu \rho ^{2}x\right)^{1/3}.}$$

Ver también

• Avión Landau-Squire

Referencias

1. Bickley, WG "LXXIII. El avión a reacción". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 23.156 (1937): 727-731. (Artículo original: http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786443708561847?journalCode=tphm18)
2. Schlichting, Hermann . "Laminare strahlausbreitung." ZAMM-Revista de Mecánica y Matemáticas Aplicadas/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 13.4 (1933): 260-263.
3. Kundu, PK y LM Cohen. "Mecánica de fluidos, 638 págs." Académico, California (1990).
4. Pozrikidis, Costas y Joel H. Ferziger . "Introducción a la dinámica de fluidos teórica y computacional". (1997): 72–74.
5. Rosenhead, Luis, ed. Capas límite laminares. Prensa de Clarendon, 1963.
6. Acheson, David J. Dinámica de fluidos elemental. Prensa de la Universidad de Oxford, 1990.
7. Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. No. 334. Cambridge University Press, 2006.