Avión de reacción Schlichting

El chorro de Schlichting es un chorro circular, laminar y constante que emerge en un fluido estacionario del mismo tipo con un número de Reynolds muy alto . El problema fue formulado y resuelto por Hermann Schlichting en 1933, ^{[1] quien también formuló el problema} del chorro de Bickley planar correspondiente en el mismo artículo. ^[2] El chorro de Landau-Squire de una fuente puntual es una solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes , que es válida para todos los números de Reynolds, se reduce a la solución del chorro de Schlichting a un número de Reynolds alto, para distancias muy alejadas del origen del chorro.

Descripción del flujo

Consideremos un chorro axisimétrico que emerge de un orificio, ubicado en el origen de un eje de coordenadas polares cilíndricos , donde θ es el eje del chorro y θ es la distancia radial desde el eje de simetría. Como el chorro está a presión constante, el flujo de momento en la dirección es constante e igual al flujo de momento en el origen, ${\displaystyle (r,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle J=2\pi \rho \int _{0}^{\infty }ru^{2}dr={\text{constant}},}$

donde es la densidad constante, son los componentes de velocidad en y dirección, respectivamente y es el flujo de momento conocido en el origen. La cantidad se denomina flujo de momento cinemático . Las ecuaciones de la capa límite son ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (v,u)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K=J/\rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv)}{\partial r}}&=0,\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial r}}&={\frac {\nu }{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right),\end{aligned}}}$

donde es la viscosidad cinemática . Las condiciones de contorno son ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}r=0:&\quad v=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial r}}=0,\\r\rightarrow \infty :&\quad u=0.\end{aligned}}}$

El número de Reynolds del chorro,

${\displaystyle Re={\frac {1}{\nu }}\left({\frac {J}{2\pi \rho }}\right)^{1/2}={\frac {1}{\nu }}\left({\frac {K}{2\pi }}\right)^{1/2}\gg 1}$

es un número grande para el jet Schlichting.

Solución autosimilar

Existe una solución autosimilar para el problema planteado. Las variables autosimilares son

${\displaystyle \eta ={\frac {r}{x}},\quad u={\frac {\nu }{x}}{\frac {F'(\eta )}{\eta }},\quad v={\frac {\nu }{x}}\left[F'(\eta )-{\frac {F(\eta )}{\eta }}\right].}$

Entonces la ecuación de la capa límite se reduce a

${\displaystyle \eta F''+FF'-F'=0}$

con condiciones de contorno . Si es una solución, entonces es también una solución. Una solución particular que satisface la condición en está dada por ${\displaystyle F(0)=F'(0)=0}$ ${\displaystyle F(\eta )}$ ${\displaystyle F(\gamma \eta )=F(\xi )}$ ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle F={\frac {4\xi ^{2}}{4+\xi ^{2}}}={\frac {4\gamma ^{2}\eta ^{2}}{4+\gamma ^{2}\eta ^{2}}}.}$

La constante se puede evaluar a partir de la condición de momento, ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {3J}{16\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {3{\rm {Re}}^{2}}{8}}.}$

Así que la solución es

${\displaystyle F(\eta )={\frac {4({\rm {Re}}\,\eta )^{2}}{32/3+({\rm {Re}}\,\eta )^{2}}}.}$

A diferencia del flujo de momento, el caudal volumétrico en el no es constante, sino que aumenta debido al lento arrastre del fluido exterior por el chorro. ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q=2\pi \int _{0}^{\infty }rudr=8\pi \nu x,}$

aumenta linealmente con la distancia a lo largo del eje. El flujo de Schneider describe el flujo inducido por el chorro debido al arrastre. ^[3]

Otras variaciones

El chorro de Schlichting para el fluido compresible ha sido resuelto por MZ Krzywoblocki ^[4] y DC Pack ^[5] . De manera similar, H. Görtler estudió el chorro de Schlichting con movimiento giratorio. ^[6]

Véase también

• Avión a reacción Landau-Squire
• Flujo de Schneider
• chorro de bicley

Referencias

1. Schlichting, Hermann . "Laminare strahlausbreitung." ZAMM-Revista de Mecánica y Matemáticas Aplicadas/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 13.4 (1933): 260-263.
2. Schlichting, H (1979). Teoría de la capa límite, séptima edición, McGraw-Hill Book Company
3. Schneider, W. (1981). Flujo inducido por chorros y columnas. Journal of Fluid Mechanics, 108, 55-65.
4. Krzywoblocki, MZ (1949). Sobre chorros circulares laminares y constantes en gases viscosos compresibles detrás de la boca. Oesterr. Ing.-Arch, 3, 373-383.
5. Pack, DC (1954, enero). Flujo laminar en un chorro axialmente simétrico de fluido compresible, lejos del orificio. En Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 50, No. 1, pp. 98-104). Cambridge University Press.
6. Görtler, H. (1954). Decaimiento del remolino en un chorro axialmente simétrico, lejos del orificio. Revista matemática hispanoamericana, 14(4), 143-178.