SAMV (algoritmo)

Algoritmo de superresolución sin parámetros

SAMV ( varianza mínima asintótica dispersa iterativa ^{[1] [2] ) es un algoritmo} de superresolución sin parámetros para el problema lineal inverso en estimación espectral , estimación de dirección de llegada (DOA) y reconstrucción tomográfica con aplicaciones en procesamiento de señales e imágenes médicas . y teledetección . El nombre fue acuñado en 2013 ^[1] para enfatizar su base en el criterio de varianza mínima asintótica (AMV). Es una herramienta poderosa para la recuperación de las características de amplitud y frecuencia de múltiples fuentes altamente correlacionadas en entornos desafiantes (por ejemplo, número limitado de instantáneas y baja relación señal-ruido ). Las aplicaciones incluyen radar de apertura sintética , ^{[2] [3]} tomografía computarizada e imágenes por resonancia magnética (MRI) .

Definición

La formulación del algoritmo SAMV se presenta como un problema inverso en el contexto de la estimación de DOA. Supongamos que una matriz lineal uniforme (ULA) de elementos recibe señales de banda estrecha emitidas desde fuentes ubicadas en ubicaciones , respectivamente. Los sensores de la ULA acumulan instantáneas durante un tiempo específico. Los vectores instantáneos dimensionales son ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N}$

donde es la matriz de dirección , contiene las formas de onda de la fuente y es el término de ruido. Supongamos que donde está el delta de Dirac y es igual a 1 solo si y 0 en caso contrario. Supongamos también que y son independientes y que , donde . Sea un vector que contenga las potencias de señal desconocidas y la varianza del ruido . ${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]}$ ${\displaystyle {\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle \delta _{n,{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle n={\bar {n}}}$ ${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$ ${\displaystyle {\bf {x}}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}}$ ${\displaystyle {\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})}$ ${\displaystyle {\bf {p}}}$ ${\displaystyle {\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}}$

La matriz de covarianza que contiene toda la información es ${\displaystyle {\bf {y}}(n)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.}$

Esta matriz de covarianza se puede estimar tradicionalmente mediante la matriz de covarianza muestral donde . Después de aplicar el operador de vectorización a la matriz , el vector obtenido está relacionado linealmente con el parámetro desconocido como ${\displaystyle {\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N}$ ${\displaystyle {\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]}$ ${\displaystyle {\bf {R}}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}}$,

donde , , , y sea dónde está el producto de Kronecker. ${\displaystyle {\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]}$ ${\displaystyle {\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]}$ ${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,K}$ ${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})}$ ${\displaystyle \otimes }$

algoritmo SAMV

Para estimar el parámetro a partir de la estadística , desarrollamos una serie de enfoques SAMV iterativos basados ​​en el criterio de varianza mínima asintóticamente. De, ^[1] la matriz de covarianza de un estimador consistente arbitrario basado en el estadístico de segundo orden está limitada por la matriz definida positiva simétrica real ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},}$

dónde . Además, este límite inferior se alcanza mediante la matriz de covarianza de la distribución asintótica de obtenida minimizando, ${\displaystyle {\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),}$

dónde ${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].}$

Por lo tanto, la estimación de se puede obtener de forma iterativa. ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

El y que minimiza se puede calcular de la siguiente manera. Supongamos que se han aproximado hasta cierto punto en la iteración, y se pueden refinar en la iteración mediante, ${\displaystyle \{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i)}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i)}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$

${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},}$

donde la estimación de en la iteración viene dada por con . ${\displaystyle {\bf {R}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}}$ ${\displaystyle {\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})}$

Más allá de la precisión de la cuadrícula de escaneo

La resolución de la mayoría de las técnicas de localización de fuentes basadas en sensores comprimidos está limitada por la finura de la cuadrícula de dirección que cubre el espacio de parámetros de ubicación. ^[4] En el modelo de recuperación de señal dispersa, la escasez de la señal de verdad depende de la distancia entre el elemento adyacente en el diccionario sobrecompleto , por lo tanto, surge la dificultad de elegir el diccionario sobrecompleto óptimo . La complejidad computacional es directamente proporcional a la finura de la cuadrícula de dirección; una cuadrícula muy densa no es práctica computacional. Para superar esta limitación de resolución impuesta por la red, se propone el SAMV-SML ( varianza mínima asintótica dispersa iterativa - probabilidad máxima estocástica ) sin red, ^[1] que refina las estimaciones de ubicación minimizando iterativamente una función de costo estocástica de máxima probabilidad con respecto a un único parámetro escalar . ${\displaystyle \mathbf {x} (n)}$ ${\displaystyle {\bf {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}}$ ${\displaystyle \theta _{k}}$

Aplicación a las imágenes Doppler de rango

Comparación de resultados de imágenes Doppler de rango SISO con tres objetivos de 5 dB y seis de 25 dB. (a) verdad fundamental, (b) filtro coincidente (MF), (c) algoritmo IAA, (d) algoritmo SAMV-0. Todos los niveles de potencia están en dB. Tanto el método MF como el IAA tienen una resolución limitada con respecto al eje Doppler. SAMV-0 ofrece una resolución superior en términos de alcance y Doppler. ^[1]

Una aplicación típica del algoritmo SAMV en el problema de imágenes Doppler de rango de radar / sonar SISO . Este problema de imágenes es una aplicación de instantánea única y se incluyen algoritmos compatibles con la estimación de instantánea única, es decir, filtro coincidente (MF, similar al periodograma o retroproyección , que a menudo se implementa eficientemente como transformada rápida de Fourier (FFT)), IAA , ^[5] y una variante del algoritmo SAMV (SAMV-0). Las condiciones de simulación son idénticas a: ^[5] Se emplea un código P3 de compresión de pulso polifásico de elemento como pulso transmitido y se simulan un total de nueve objetivos en movimiento. De todos los objetivos en movimiento, tres son de potencia dB y los seis restantes son de potencia dB. Se supone que las señales recibidas están contaminadas con ruido blanco gaussiano uniforme de potencia dB. ${\displaystyle 30}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle 0}$

El resultado de la detección del filtro adaptado sufre graves efectos de manchado y fuga tanto en el Doppler como en el dominio del rango, por lo que es imposible distinguir los objetivos en dB. Por el contrario, el algoritmo IAA ofrece resultados de imágenes mejorados con estimaciones de alcance objetivo observables y frecuencias Doppler. El enfoque SAMV-0 proporciona resultados muy escasos y elimina completamente los efectos difuminados, pero no alcanza los objetivos de dB débiles. ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 5}$

Implementación de código abierto

Aquí se puede descargar una implementación MATLAB de código abierto del algoritmo SAMV.

Ver también

• Portal de software gratuito y de código abierto
• Portal de ciencia

• Procesamiento de matrices  : área de investigación en procesamiento de señales
• Filtro combinado  : filtros utilizados en el procesamiento de señales que son óptimos en algún sentido.
• Periodograma  : estimación de la densidad espectral de una señal.
• Retroproyección filtrada  – Transformación integral (transformación de radón)
• Clasificación de señales múltiples  : algoritmo utilizado para la estimación de frecuencia y radiogoniometría (MÚSICA), un método popular de superresolución paramétrica
• Radar Doppler de pulsos  : tipo de sistema de radar
• Imágenes de súper resolución  : cualquier técnica para mejorar la resolución de un sistema de imágenes más allá de los límites convencionales.
• Detección comprimida  : técnica de procesamiento de señales
• Problema inverso  : proceso de cálculo de los factores causales que produjeron un conjunto de observaciones.
• Reconstrucción tomográfica  : estime las propiedades del objeto a partir de un número finito de proyecciones.

Referencias

1. Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian ; Merabtine, Nadjim (2013). "Enfoques iterativos basados ​​en varianza mínima asintótica escasa para el procesamiento de matrices" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 61 (4): 933–944. arXiv : 1802.03070 . Código Bib : 2013ITSP...61..933A. doi :10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN  1053-587X. S2CID  16276001.
2. Glentis, George-Othon; Zhao, Kexin; Jakobsson, Andreas; Abeida, Habti; Li, Jian (2014). "Imágenes SAR a través de implementaciones eficientes de enfoques de aprendizaje automático dispersos" (PDF) . Procesamiento de señales . 95 : 15-26. doi :10.1016/j.sigpro.2013.08.003. S2CID  41743051.
3. Yang, Xuemin; Li, Guangjun; Zheng, Zhi (3 de febrero de 2015). "Estimación DOA de señal no circular basada en representación dispersa". Comunicaciones personales inalámbricas . 82 (4): 2363–2375. doi :10.1007/s11277-015-2352-z. S2CID  33008200.
4. Malioutov, D.; Cetín, M.; Willsky, AS (2005). "Una perspectiva de reconstrucción de señales dispersas para la localización de fuentes con conjuntos de sensores". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 53 (8): 3010–3022. Código Bib : 2005ITSP...53.3010M. doi :10.1109/tsp.2005.850882. hdl : 1721.1/87445 . S2CID  6876056.
5. Yardibi, Tarik; Li, Jian ; Estoica, Petre; Xue, Ming; Baggeroer, Arthur B. (2010). "Localización y detección de fuentes: un enfoque adaptativo iterativo no paramétrico basado en mínimos cuadrados ponderados". Transacciones IEEE sobre sistemas aeroespaciales y electrónicos . 46 (1): 425–443. Código Bib :2010ITAES..46..425Y. doi :10.1109/taes.2010.5417172. hdl : 1721.1/59588 . S2CID  18834345.