Coordenadas isotrópicas

Sistema de coordenadas utilizado para representar determinados espacio-tiempos.

En la teoría de las variedades lorentzianas , los espaciotiempos esféricamente simétricos admiten una familia de esferas redondas anidadas . Hay varios tipos diferentes de diagramas de coordenadas que se adaptan a esta familia de esferas anidadas; el más conocido es el diagrama de Schwarzschild , pero el diagrama isotrópico también suele ser útil. La característica definitoria de un diagrama isotrópico es que su coordenada radial (que es diferente de la coordenada radial de un diagrama de Schwarzschild) se define de modo que los conos de luz parezcan redondos . Esto significa que (excepto en el caso trivial de una variedad localmente plana), las coordenadas isotrópicas angulares no representan fielmente las distancias dentro de las esferas anidadas, ni la coordenada radial representa fielmente las distancias radiales. Por otro lado, los ángulos en las hipersegmentaciones de tiempo constante se representan sin distorsión, de ahí el nombre del diagrama.

Los diagramas isotrópicos se aplican con mayor frecuencia a los espaciotiempos estáticos esféricamente simétricos en teorías métricas de la gravitación, como la relatividad general , pero también se pueden utilizar para modelar una bola de fluido esféricamente pulsante, por ejemplo. Para soluciones esféricamente simétricas aisladas de la ecuación de campo de Einstein , a grandes distancias, los diagramas isotrópicos y de Schwarzschild se vuelven cada vez más similares al diagrama esférico polar habitual en el espaciotiempo de Minkowski .

Definición

En un gráfico isótropo (en un espacio-tiempo estático y simétrico esférico), la métrica (también conocida como elemento de línea ) toma la forma

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\left(dr^{2}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi }$

Dependiendo del contexto, puede ser apropiado considerar funciones indeterminadas de la coordenada radial (por ejemplo, al derivar una solución estática esféricamente simétrica exacta de la ecuación de campo de Einstein ). Alternativamente, podemos introducir funciones específicas (posiblemente dependiendo de algunos parámetros) para obtener un gráfico de coordenadas isotrópicas en un espacio-tiempo lorentziano específico. ${\displaystyle a,\,b}$

Matar campos vectoriales

El álgebra de Lie de los campos vectoriales de Killing de un espacio-tiempo estático simétrico esférico adopta la misma forma en el diagrama isotrópico que en el diagrama de Schwarzschild. Es decir, esta álgebra se genera por el campo vectorial de Killing irrotacional de tipo temporal

${\displaystyle \partial _{t}}$

y tres campos vectoriales de Killing similares a espacios

${\displaystyle \partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \sin(\varphi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\partial _{\varphi }}$

${\displaystyle \cos(\varphi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\varphi )\partial _{\varphi }}$

Aquí, decir que es irrotacional significa que el tensor de vorticidad de la congruencia temporal correspondiente se desvanece; por lo tanto, este campo vectorial de Killing es ortogonal a la hipersuperficie . El hecho de que el espacio-tiempo admita un campo vectorial de Killing temporal irrotacional es de hecho la característica definitoria de un espacio-tiempo estático . Una consecuencia inmediata es que las superficies de coordenadas de tiempo constante forman una familia de hiperslices espaciales (isométricas) (hipersuperficies espaciales). ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

A diferencia del diagrama de Schwarzschild, el diagrama isotrópico no es adecuado para construir diagramas de incrustación de estas hipersecciones.

Una familia de esferas estáticas anidadas

Las superficies aparecen como esferas redondas (cuando graficamos los lugares geométricos en forma esférica polar) y, a partir de la forma del elemento de línea, vemos que la métrica restringida a cualquiera de estas superficies es ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi }$

donde son las coordenadas y es la métrica de Riemann en la esfera 2 de radio unitario. Es decir, estas esferas de coordenadas anidadas de hecho representan esferas geométricas, pero la apariencia de en lugar de muestra que la coordenada radial no corresponde al área de la misma manera que para las esferas en el espacio euclidiano ordinario . Compárese con las coordenadas de Schwarzschild, donde la coordenada radial tiene su interpretación natural en términos de las esferas anidadas. ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle g_{\Omega }}$ ${\displaystyle b(r_{0})\,r}$ ${\displaystyle r}$

Singularidades de coordenadas

Los lugares marcan los límites del diagrama isotrópico y, tal como en el diagrama de Schwarzschild, asumimos tácitamente que estos dos lugares están identificados, de modo que nuestras supuestas esferas redondas son de hecho esferas topológicas. ${\displaystyle \varphi =-\pi ,\,\pi }$

Al igual que en el caso del diagrama de Schwarzschild, el rango de la coordenada radial puede verse limitado si la métrica o su inversa aumenta para algunos valores de esta coordenada.

Un ansatz métrico

El elemento de línea dado arriba, con f, g, considerados como funciones indeterminadas de la coordenada isótropa r, se utiliza a menudo como un Ansatz métrico para derivar soluciones esféricamente simétricas estáticas en relatividad general (u otras teorías métricas de la gravitación ).

A modo de ejemplo, esbozaremos cómo calcular la conexión y la curvatura utilizando el método de cálculo exterior de Cartan. Primero, leemos el elemento de línea a un campo de coframe ,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

donde consideramos como funciones suaves indeterminadas de . (El hecho de que nuestro espacio-tiempo admita un marco que tenga esta forma trigonométrica particular es otra expresión equivalente de la noción de un gráfico isótropo en una variedad lorentziana estática y esféricamente simétrica). Tomando las derivadas externas y utilizando la primera ecuación estructural de Cartan, encontramos las formas de conexión no nulas ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\varphi }$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\varphi }$

Tomando nuevamente las derivadas externas y sustituyéndolas en la segunda ecuación estructural de Cartan, encontramos las dos formas de curvatura .

Véase también

• espacio-tiempo estático ,
• espacio-tiempo simétrico esférico ,
• fluidos perfectos , estáticos y esféricos simétricos
• Coordenadas de Schwarzschild , otro gráfico popular para espacios-tiempos estáticos esféricamente simétricos,
• campos de marco en relatividad general , para obtener más información sobre campos de marco y campos co-marcos.

Referencias

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)