En cálculo vectorial , un campo vectorial laminar complejo es un campo vectorial que es ortogonal a una familia de superficies. En el contexto más amplio de la geometría diferencial , los campos vectoriales laminares complejos se denominan más a menudo campos vectoriales ortogonales de hipersuperficie. Se pueden caracterizar de diferentes maneras, muchas de las cuales involucran el rizo . Un campo vectorial laminar es un caso especial dado por campos vectoriales con curvatura cero.
El adjetivo "lamelar" deriva del sustantivo "lamella", que significa capa fina. Las laminillas a las que se refiere "campo vectorial laminar" son las superficies de potencial constante, o en el caso complejo, las superficies ortogonales al campo vectorial. [1]
En cálculo vectorial , un campo vectorial laminar complejo es un campo vectorial en tres dimensiones que es ortogonal a su propio rizo . [2] Es decir,
El término campo vectorial laminar se utiliza a veces como sinónimo del caso especial de un campo vectorial irrotacional , lo que significa que [3]
Los campos vectoriales laminares complejos son precisamente aquellos que son normales a una familia de superficies. Un campo vectorial irrotacional es localmente el gradiente de una función y, por lo tanto, es ortogonal a la familia de superficies de nivel (las superficies equipotenciales ). [4] Cualquier campo vectorial se puede descomponer como la suma de un campo vectorial irrotacional y un campo laminar complejo. [5]
En mayor general, se dice que un campo vectorial F en una variedad pseudo-riemanniana es hipersuperficie ortogonal si a través de un punto arbitrario pasa una hipersuperficie suavemente incrustada que, en todos sus puntos, es ortogonal al campo vectorial. Según el teorema de Frobenius, esto equivale a exigir que el corchete de Lie de cualquier campo vectorial suave ortogonal a F siga siendo ortogonal a F. [6]
La condición de ortogonalidad de hipersuperficie se puede reformular en términos de la forma diferencial 1 ω que es dual a F . La condición del corchete de Lie dada anteriormente se puede reelaborar para requerir que la derivada exterior dω , cuando se evalúa en dos vectores tangentes cualesquiera que sean ortogonales a F , sea cero. [6] Esto también puede expresarse como el requisito de que exista una forma 1 suave cuyo producto de cuña con ω sea igual a dω . [7]
Alternativamente, esto puede escribirse como la condición de que la forma diferencial 3 ω ∧ dω sea cero. Esto también puede expresarse, en términos de la conexión Levi-Civita definida por la métrica, como que requiere que la parte totalmente antisimétrica del campo de 3 tensores ω i ∇ j ω k sea cero. [8] Usando una formulación diferente del teorema de Frobenius, también es equivalente a requerir que ω sea expresable localmente como λ d u para algunas funciones λ y u . [9]
En el caso especial de campos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional , la condición ortogonal de hipersuperficie es equivalente a la condición laminar compleja, como se ve al reescribir ω ∧ dω en términos del operador estrella de Hodge como ∗⟨ω, ∗dω⟩ , siendo ∗dω la forma dual del campo vectorial curl. [10]
Los campos vectoriales hipersuperficiales-ortogonales son particularmente importantes en la relatividad general , donde (entre otras razones) la existencia de un campo vectorial Killing que sea hipersuperficial-ortogonal es uno de los requisitos de un espacio-tiempo estático . [11] En este contexto, la ortogonalidad de hipersuperficie a veces se denomina irrotacionalidad , aunque esto está en conflicto con el uso estándar en tres dimensiones. [12] Otro nombre es libertad de rotación . [13]
Una noción aún más general, en el lenguaje de los sistemas pfaffianos , es la de una forma 1 completamente integrable ω , que equivale a la condición ω ∧ dω = 0 como se indicó anteriormente. [14] En este contexto, no existe una métrica y, por lo tanto, no existe una noción de "ortogonalidad".
