Inverso multiplicativo

Número que al multiplicarse por x es igual a 1

Función recíproca: y = 1/ x . Para cada x excepto 0, y representa su inverso multiplicativo. La gráfica forma una hipérbola rectangular .

En matemáticas , un inverso multiplicativo o recíproco para un número x , denotado por 1/ x o x ⁻¹ , es un número que cuando se multiplica por x da como resultado la identidad multiplicativa , 1. El inverso multiplicativo de una fracción a / b es b / a . Para el inverso multiplicativo de un número real, se divide 1 por el número. Por ejemplo, el recíproco de 5 es un quinto (1/5 o 0,2), y el recíproco de 0,25 es 1 dividido por 0,25, o 4. La función recíproca , la función f ( x ) que asigna x a 1/ x , es uno de los ejemplos más simples de una función que es su propia inversa (una involución ).

Multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su recíproco y viceversa. Por ejemplo, multiplicar por 4/5 (o 0,8) dará el mismo resultado que dividir por 5/4 (o 1,25). Por lo tanto, la multiplicación por un número seguida de la multiplicación por su recíproco da como resultado el número original (ya que el producto del número y su recíproco es 1).

El término recíproco era de uso común al menos desde la tercera edición de la Encyclopædia Britannica (1797) para describir dos números cuyo producto es 1; las cantidades geométricas en proporción inversa se describen como recíprocas en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides . ^[1]

En la frase inverso multiplicativo , el calificador multiplicativo se omite a menudo y luego se sobreentiende tácitamente (en contraste con el inverso aditivo ). Los inversos multiplicativos se pueden definir en muchos dominios matemáticos, así como en números. En estos casos puede suceder que ab ≠ ba ; entonces "inverso" generalmente implica que un elemento es tanto inverso izquierdo como inverso derecho .

La notación f ⁻¹ también se utiliza a veces para la función inversa de la función f , que para la mayoría de las funciones no es igual a la inversa multiplicativa. Por ejemplo, la inversa multiplicativa 1/(sin x ) = (sin x ) ⁻¹ es la cosecante de x, y no el seno inverso de x denotado por sen ⁻¹ x o arcsin x . La diferencia de terminología recíproco versus inverso no es suficiente para hacer esta distinción, ya que muchos autores prefieren la convención de nomenclatura opuesta, probablemente por razones históricas (por ejemplo, en francés , la función inversa se llama preferiblemente biyección réciproca).

Ejemplos y contraejemplos

En los números reales, el cero no tiene un recíproco ( la división por cero no está definida ) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1 (el producto de cualquier número con cero es cero). Con la excepción del cero, los recíprocos de cada número real son reales, los recíprocos de cada número racional son racionales y los recíprocos de cada número complejo son complejos. La propiedad de que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de un cuerpo , del cual todos estos son ejemplos. Por otro lado, ningún número entero distinto de 1 y −1 tiene un recíproco entero, y por lo tanto los números enteros no son un cuerpo.

En aritmética modular , también se define el inverso multiplicativo modular de a : es el número x tal que ax ≡ 1 (mod n ) . Este inverso multiplicativo existe si y solo si a y n son coprimos . Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4 porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . Se puede utilizar el algoritmo euclidiano extendido para calcularlo.

Los sedeniones son un álgebra en la que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, pero que no obstante tiene divisores de cero, es decir, elementos distintos de cero x , y tales que xy  = 0.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante tiene inversa en el anillo de coeficientes . La función lineal que tiene la matriz A ⁻¹ con respecto a alguna base es entonces la función inversa de la función que tiene a A como matriz en la misma base. Así, las dos nociones distintas de inversa de una función están fuertemente relacionadas en este caso, pero siguen sin coincidir, ya que la inversa multiplicativa de Ax sería ( Ax ) ⁻¹ , no A ⁻¹ x.

Estas dos nociones de función inversa a veces coinciden, por ejemplo para la función donde es la rama principal del logaritmo complejo y : ${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$

${\displaystyle ((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x}$.

Las funciones trigonométricas están relacionadas por la identidad recíproca: la cotangente es el recíproco de la tangente; la secante es el recíproco del coseno; la cosecante es el recíproco del seno.

Un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es un anillo de división ; asimismo, un álgebra en la que esto se cumple es un álgebra de división .

Números complejos

Como se mencionó anteriormente, el recíproco de cada número complejo distinto de cero es complejo. Se puede encontrar multiplicando tanto el extremo superior como el inferior de 1/ z por su conjugado complejo y utilizando la propiedad de que , el valor absoluto de z al cuadrado, que es el número real a ² + b ² : ${\displaystyle z=a+bi}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

La intuición es que

${\displaystyle {\frac {\bar {z}}{\|z\|}}}$

nos da el conjugado complejo con una magnitud reducida a un valor de , por lo que dividir nuevamente por asegura que la magnitud ahora es igual al recíproco de la magnitud original también, por lo tanto: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \|z\|}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$

En particular, si || z ||=1 ( z tiene magnitud unitaria), entonces . En consecuencia, las unidades imaginarias , ± i , tienen inverso aditivo igual al inverso multiplicativo, y son los únicos números complejos con esta propiedad. Por ejemplo, los inversos aditivo y multiplicativo de i son −( i ) = − i y 1/ i = − i , respectivamente. ${\displaystyle 1/z={\bar {z}}}$

Para un número complejo en forma polar z = r (cos φ + i  sin φ) , el recíproco simplemente toma el recíproco de la magnitud y el negativo del ángulo:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}$

Intuición geométrica para la integral de 1/ x . Las tres integrales de 1 a 2, de 2 a 4 y de 4 a 8 son todas iguales. Cada región es la región anterior dividida por la mitad verticalmente y duplicada horizontalmente. Extendiendo esto, la integral de 1 a 2 ^k es k por la integral de 1 a 2, tal como ln 2 ^k = k ln 2.

Cálculo

En cálculo real , la derivada de 1/ x = x ⁻¹ viene dada por la regla de potencia con la potencia −1:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

La regla de potencia para integrales ( fórmula de cuadratura de Cavalieri ) no se puede utilizar para calcular la integral de 1/ x , porque al hacerlo se obtendría una división por 0: En cambio, la integral se obtiene mediante: donde ln es el logaritmo natural . Para demostrarlo, observe que , por lo que si y , tenemos: ^[2] $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$ $${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,}$$ $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$ ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$ ${\displaystyle x=e^{y}}$ ${\displaystyle y=\ln x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}}$$

Algoritmos

El recíproco se puede calcular a mano con el uso de la división larga .

Calcular el recíproco es importante en muchos algoritmos de división , ya que el cociente a / b se puede calcular calculando primero 1/ b y luego multiplicándolo por a . Si se observa que tiene un cero en x = 1/ b , el método de Newton puede encontrar ese cero, comenzando con una suposición e iterando usando la regla: ${\displaystyle f(x)=1/x-b}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$

Esto continúa hasta que se alcanza la precisión deseada. Por ejemplo, supongamos que deseamos calcular 1/17 ≈ 0,0588 con 3 dígitos de precisión. Si tomamos x ₀ = 0,1, se produce la siguiente secuencia:

x ₁ = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03

x2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = _0,0447

x ₃ = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554

x ₄ = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586

x ₅ = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Una estimación inicial típica se puede obtener redondeando b a una potencia cercana de 2 y luego usando desplazamientos de bits para calcular su recíproco.

En matemáticas constructivas , para que un número real x tenga un recíproco, no es suficiente que x ≠ 0. En cambio, debe darse un número racional r tal que 0 <  r  < | x |. En términos del algoritmo de aproximación descrito anteriormente, esto es necesario para demostrar que el cambio en y eventualmente se volverá arbitrariamente pequeño.

Gráfica de f( x ) = x ^x que muestra el mínimo en (1/ e , e ^{−1/ e} ).

Esta iteración también puede generalizarse a un tipo más amplio de inversas; por ejemplo, inversas de matrices .

Recíprocos de números irracionales

Todo número real o complejo, excepto el cero, tiene un recíproco, y los recíprocos de ciertos números irracionales pueden tener propiedades especiales importantes. Algunos ejemplos son el recíproco de e (≈ 0,367879) y el recíproco de la proporción áurea (≈ 0,618034). El primer recíproco es especial porque ningún otro número positivo puede producir un número menor cuando se eleva a su propia potencia; es el mínimo global de . El segundo número es el único número positivo que es igual a su recíproco más uno: . Su inverso aditivo es el único número negativo que es igual a su recíproco menos uno: . ${\displaystyle f(1/e)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ${\displaystyle \varphi =1/\varphi +1}$ ${\displaystyle -\varphi =-1/\varphi -1}$

La función da un número infinito de números irracionales que difieren con su recíproco en un entero. Por ejemplo, es el irracional . Su recíproco es , exactamente menor. Tales números irracionales comparten una propiedad evidente: tienen la misma parte fraccionaria que su recíproco, ya que estos números difieren en un entero. ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {n^{2}+1}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 1/(2+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle -2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 4}$

La función recíproca juega un papel importante en las fracciones continuas , que tienen una serie de propiedades notables relacionadas con la representación de números (tanto racionales como) irracionales.

Observaciones adicionales

Si la multiplicación es asociativa, un elemento x con un inverso multiplicativo no puede ser divisor de cero ( x es divisor de cero si hay algún y distinto de cero , xy = 0 ). Para comprobarlo, basta con multiplicar la ecuación xy = 0 por el inverso de x (a la izquierda) y luego simplificar utilizando la asociatividad. En ausencia de asociatividad, los sedeniones proporcionan un contraejemplo.

El recíproco no se cumple: no se garantiza que un elemento que no es divisor de cero tenga un inverso multiplicativo. Dentro de Z , todos los números enteros excepto −1, 0, 1 proporcionan ejemplos; no son divisores de cero ni tienen inversos en Z. Sin embargo, si el anillo o el álgebra es finito , entonces todos los elementos a que no son divisores de cero tienen un inverso (izquierdo y derecho). Para, observe primero que la función f ( x ) = ax debe ser inyectiva : f ( x ) = f ( y ) implica x = y :

${\displaystyle {\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$

Los elementos distintos se asignan a elementos distintos, por lo que la imagen consta del mismo número finito de elementos y la función es necesariamente sobreyectiva . En concreto, ƒ (es decir, la multiplicación por a ) debe asignar algún elemento x a 1, ax = 1 , de modo que x sea una inversa de a .

Aplicaciones

La expansión del recíproco 1/ q en cualquier base también puede actuar ^[3] como una fuente de números pseudoaleatorios , si q es un primo seguro "adecuado" , un primo de la forma 2 p  + 1 donde p también es un primo.  La expansión producirá una secuencia de números pseudoaleatorios de longitud q − 1.

Véase también

• División (matemáticas)
• Decaimiento exponencial
• Fracción
• Grupo (matemáticas)
• Hipérbola
• Distribución inversa
• Lista de sumas de recíprocos
• Decimal periódico
• Coordenadas de 6 esferas
• Fracciones unitarias : recíprocas de números enteros
• Ceros y polos

Notas

1. "En los paralelipedones iguales las bases son recíprocas con respecto a sus alturas". OED "Recíproco" §3a. Traducción de Sir Henry Billingsley de Elementos XI, 34.
2. Anthony, Dr. "Demostración de que INT(1/x)dx = lnx". Ask Dr. Math . Drexel University . Consultado el 22 de marzo de 2013 .
3. Mitchell, Douglas W., "Un generador de números aleatorios no lineal con una longitud de ciclo conocida", Cryptologia 17, enero de 1993, 55–62.

Referencias

• Recíprocos de máxima periodicidad, Matthews RAJ Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones vol 28 pp 147–148 1992