Inversa generalizada

Elemento algebraico que satisface algunos de los criterios de una inversa

En matemáticas , y en particular, en álgebra , una inversa generalizada (o g-inversa ) de un elemento x es un elemento y que tiene algunas propiedades de un elemento inverso , pero no necesariamente todas. El propósito de construir una inversa generalizada de una matriz es obtener una matriz que pueda servir como inversa en algún sentido para una clase más amplia de matrices que las matrices invertibles . Las inversas generalizadas se pueden definir en cualquier estructura matemática que involucre una multiplicación asociativa , es decir, en un semigrupo . Este artículo describe las inversas generalizadas de una matriz . ${\displaystyle A}$

Una matriz es una inversa generalizada de una matriz si ^{[1] [2] [3]} Existe una inversa generalizada para una matriz arbitraria, y cuando una matriz tiene una inversa regular, esta inversa es su única inversa generalizada. ^[1] ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}$

Motivación

Consideremos el sistema lineal

${\displaystyle Ax=y}$

donde es una matriz y el espacio columna de . Si y no es singular entonces será la solución del sistema. Nótese que, si no es singular, entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x=A^{-1}y}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

Ahora supongamos que es rectangular ( ), o cuadrada y singular. Entonces necesitamos un candidato correcto de orden tal que para todos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$

${\displaystyle AGy=y.}$^[4]

Es decir, es una solución del sistema lineal . Equivalentemente, necesitamos una matriz de orden tal que ${\displaystyle x=Gy}$ ${\displaystyle Ax=y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n\times m}$

${\displaystyle AGA=A.}$

Por lo tanto, podemos definir la inversa generalizada de la siguiente manera: Dada una matriz , se dice que una matriz es una inversa generalizada de si ‍ [ ^{1] [2] [3]} Algunos autores han denominado a la matriz una inversa regular de . ^[5] ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AGA=A.}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$

Tipos

Los tipos importantes de inversa generalizada incluyen:

• Inversa unilateral (inversa derecha o inversa izquierda)
  • Inversa derecha: Si la matriz tiene dimensiones y , entonces existe una matriz llamada inversa derecha de tal que , donde es la matriz identidad . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{m}}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle m\times m}$
  • Inversa izquierda: Si la matriz tiene dimensiones y , entonces existe una matriz llamada inversa izquierda de tal que , donde es la matriz identidad. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Inversión de Bott-Duffin
• Drazin inverso
• Inversión de Moore-Penrose

Algunas inversas generalizadas se definen y clasifican según las condiciones de Penrose:

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3. ${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}$

donde denota transpuesta conjugada. Si satisface la primera condición, entonces es una inversa generalizada de . Si satisface las dos primeras condiciones, entonces es una inversa generalizada reflexiva de . Si satisface las cuatro condiciones, entonces es la pseudoinversa de , que se denota por y también se conoce como la inversa de Moore-Penrose , después de los trabajos pioneros de EH Moore y Roger Penrose . ^{[2] [7] [8] [9] [10] [11]} Es conveniente definir una -inversa de como una inversa que satisface el subconjunto de las condiciones de Penrose enumeradas anteriormente. Se pueden establecer relaciones, como , entre estas diferentes clases de -inversas. ^[1] ${\displaystyle {}^{*}}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}$ ${\displaystyle I}$

Cuando no es singular, cualquier inversa generalizada y, por lo tanto, es única. Para un singular , algunas inversas generalizadas, como la inversa de Drazin y la inversa de Moore-Penrose, son únicas, mientras que otras no están necesariamente definidas de manera única. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

Inversa generalizada reflexiva

Dejar

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Dado que , es singular y no tiene inversa regular. Sin embargo, y satisfacen las condiciones de Penrose (1) y (2), pero no (3) ni (4). Por lo tanto, es una inversa generalizada reflexiva de . ${\displaystyle \det(A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

Inversa unilateral

Dejar

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}$

Como no es cuadrada, no tiene inversa regular. Sin embargo, es inversa derecha de . La matriz no tiene inversa izquierda. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Inversa de otros semigrupos (o anillos)

El elemento b es un inverso generalizado de un elemento a si y sólo si , en cualquier semigrupo (o anillo , ya que la función de multiplicación en cualquier anillo es un semigrupo). ${\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}$

Los inversos generalizados del elemento 3 en el anillo son 3, 7 y 11, ya que en el anillo : ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}$

Los inversos generalizados del elemento 4 en el anillo son 1, 4, 7 y 10, ya que en el anillo : ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}$

Si un elemento a en un semigrupo (o anillo) tiene un inverso, el inverso debe ser el único inverso generalizado de este elemento, como los elementos 1, 5, 7 y 11 en el anillo . ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

En el anillo , cualquier elemento es un inverso generalizado de 0, sin embargo, 2 no tiene inverso generalizado, ya que no hay b en tal que . ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}$

Construcción

Las siguientes caracterizaciones son fáciles de verificar:

• Una inversa derecha de una matriz no cuadrada se da por , siempre que tenga rango de fila completo. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$ ${\displaystyle A}$
• Una inversa izquierda de una matriz no cuadrada se da por , siempre que tenga rango de columna completo. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$ ${\displaystyle A}$
• Si es una factorización de rango , entonces es una g-inversa de , donde es una inversa derecha de y es inversa izquierda de . ${\displaystyle A=BC}$ ${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle B}$
• Si para cualquier matriz no singular y , entonces es una inversa generalizada de para matrices arbitrarias y . ${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle W}$
• Sea de rango . Sin pérdida de generalidad, sea donde es la submatriz no singular de . Entonces, es una inversa generalizada de si y solo si . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle B_{r\times r}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E=DB^{-1}C}$

Usos

Se puede utilizar cualquier inversa generalizada para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución y, en caso afirmativo, proporcionarlas todas. Si existen soluciones para el sistema lineal n × m

${\displaystyle Ax=b}$,

con vector de incógnitas y vector de constantes, todas las soluciones están dadas por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w}$,

paramétrica sobre el vector arbitrario , donde es cualquier inversa generalizada de . Existen soluciones si y solo si es una solución, es decir, si y solo si . Si A tiene rango de columna completo, la expresión entre corchetes en esta ecuación es la matriz cero y, por lo tanto, la solución es única. ^[12] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$ ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$

Inversas generalizadas de matrices

Las inversas generalizadas de matrices se pueden caracterizar de la siguiente manera. Sea , y ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }}$$

sea ​​su descomposición en valores singulares . Entonces, para cualquier inversa generalizada , existen ^[1] matrices , , y tales que ${\displaystyle A^{g}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

Por el contrario, cualquier elección de , , y para una matriz de esta forma es una inversa generalizada de . ^[1] Las -inversas son exactamente aquellas para las que , las -inversas son exactamente aquellas para las que , y las -inversas son exactamente aquellas para las que . En particular, la pseudoinversa está dada por : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \{1,4\}}$ ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle X=Y=Z=0}$

$${\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

Propiedades de consistencia de transformación

En aplicaciones prácticas es necesario identificar la clase de transformaciones matriciales que deben ser preservadas por una inversa generalizada. Por ejemplo, la inversa de Moore-Penrose satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones que involucran matrices unitarias U y V : ${\displaystyle A^{+},}$

${\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}$.

La inversa de Drazin satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones de similitud que involucran una matriz no singular S : ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}$.

La inversa consistente en unidades (UC), ^[13] satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones que involucran matrices diagonales no singulares D y E : ${\displaystyle A^{\mathrm {U} },}$

${\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}$.

El hecho de que la inversa de Moore-Penrose proporcione consistencia con respecto a las rotaciones (que son transformaciones ortonormales) explica su uso generalizado en física y otras aplicaciones en las que deben conservarse las distancias euclidianas. La inversa UC, por el contrario, es aplicable cuando se espera que el comportamiento del sistema sea invariante con respecto a la elección de unidades en diferentes variables de estado, por ejemplo, millas frente a kilómetros.

Véase también

• Matriz de bloques pseudoinversa
• Semigrupo regular

Citas

1. Ben-Israel y Greville 2003, págs. 2, 7
2. Nakamura 1991, págs. 41-42
3. Rao y Mitra 1971, págs. vii, 20
4. Rao y Mitra 1971, pág. 24
5. Rao y Mitra 1971, págs. 19-20
6. Rao y Mitra 1971, pág. 19
7. Rao y Mitra 1971, págs.20, 28, 50–51
8. Ben-Israel y Greville 2003, pág. 7
9. Campbell y Meyer 1991, pág. 10
10. James 1978, pág. 114
11. Nakamura 1991, pág. 42
12. James 1978, págs. 109-110
13. Uhlmann 2018

Fuentes

Libro de texto

• Ben-Israel, Adi ; Greville, Thomas Nall Eden (2003). Inversas generalizadas: teoría y aplicaciones (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. doi :10.1007/b97366. ISBN 978-0-387-00293-4.
• Campbell, Stephen L.; Meyer, Carl D. (1991). Inversas generalizadas de transformaciones lineales . Dover. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985). Análisis de matrices . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-38632-6.
• Nakamura, Yoshihiko (1991). Robótica avanzada: redundancia y optimización . Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985.
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Inversa generalizada de matrices y sus aplicaciones . Nueva York: John Wiley & Sons. pp. 240. ISBN 978-0-471-70821-6.

Publicación

• James, M. (junio de 1978). "La inversa generalizada". The Mathematical Gazette . 62 (420): 109–114. doi :10.2307/3617665. JSTOR  3617665.
• Uhlmann, Jeffrey K. (2018). "Una matriz inversa generalizada que es consistente con respecto a las transformaciones diagonales" (PDF) . Revista SIAM sobre análisis de matrices y aplicaciones . 239 (2): 781–800. doi :10.1137/17M113890X.
• Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). "A(2)T,S inversa generalizada y una ecuación de rango". Matemáticas Aplicadas y Computación . 155 (2): 407–415. doi :10.1016/S0096-3003(03)00786-0.