Invariantes de tensores

Concepto en álgebra multilineal y teoría de la representación

En matemáticas , en los campos del álgebra multilineal y la teoría de la representación , los invariantes principales del tensor de segundo rango son los coeficientes del polinomio característico ^[1] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \ p(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )}$,

donde es el operador identidad y son las raíces del polinomio y los valores propios de . ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

En términos más generales, cualquier función escalar es invariante de si y solo si para todos los ortogonales . Esto significa que una fórmula que exprese un invariante en términos de componentes, , dará el mismo resultado para todas las bases cartesianas. Por ejemplo, aunque los componentes diagonales individuales de cambiarán con un cambio en la base, la suma de los componentes diagonales no cambiará. ${\displaystyle f(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {Q} \mathbf {A} \mathbf {Q} ^{T})=f(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Propiedades

Los invariantes principales no cambian con las rotaciones del sistema de coordenadas (son objetivos o, en terminología más moderna, satisfacen el principio de indiferencia del marco material ) y cualquier función de los invariantes principales también es objetiva.

Cálculo de los invariantes de los tensores de rango dos

En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería , se buscan los invariantes principales de los tensores (de rango dos) de dimensión tres, como los del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho que tiene los valores propios , , y . Donde , , y son los estiramientos principales, es decir, los valores propios de . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ={\sqrt {\mathbf {C} }}}$

Invariantes principales

Para tales tensores, los invariantes principales vienen dados por:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\I_{2}&={\frac {1}{2}}\left((\mathrm {tr} (\mathbf {A} ))^{2}-\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\right)=A_{11}A_{22}+A_{22}A_{33}+A_{11}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31}=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\\I_{3}&=\det(\mathbf {A} )=-A_{13}A_{22}A_{31}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21}A_{32}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{11}A_{22}A_{33}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{aligned}}}$

Para los tensores simétricos, estas definiciones se reducen. ^[2]

La correspondencia entre los invariantes principales y el polinomio característico de un tensor, en conjunto con el teorema de Cayley-Hamilton, revela que

${\displaystyle \ \mathbf {A} ^{3}-I_{1}\mathbf {A} ^{2}+I_{2}\mathbf {A} -I_{3}\mathbf {I} =0}$

donde es el tensor identidad de segundo orden. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Invariantes principales

Además de los invariantes principales enumerados anteriormente, también es posible introducir la noción de invariantes principales ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=I_{1}\\J_{2}&=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=I_{1}^{2}-2I_{2}\\J_{3}&=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=I_{1}^{3}-3I_{1}I_{2}+3I_{3}\end{aligned}}}$

que son funciones de los invariantes principales anteriores. Estos son los coeficientes del polinomio característico del desviador , de modo que no tiene traza. La separación de un tensor en un componente que es un múltiplo de la identidad y un componente sin traza es estándar en hidrodinámica, donde el primero se llama isotrópico, proporcionando la presión modificada, y el segundo se llama desviador, proporcionando efectos de cizallamiento. ${\displaystyle \mathbf {A} -(\mathrm {tr} (\mathbf {A} )/3)\mathbf {I} }$

Invariantes mixtos

Además, también se pueden definir invariantes mixtos entre pares de tensores de rango dos. ^[4]

Cálculo de los invariantes de orden dos de tensores de dimensión superior

Estos pueden extraerse evaluando directamente el polinomio característico , utilizando el algoritmo Faddeev-LeVerrier , por ejemplo.

Cálculo de los invariantes de tensores de orden superior

También se pueden determinar los invariantes de tensores de rango tres, cuatro y de orden superior. ^[5]

Aplicaciones de ingeniería

Una función escalar que depende completamente de los invariantes principales de un tensor es objetiva, es decir, independiente de las rotaciones del sistema de coordenadas. Esta propiedad se utiliza comúnmente para formular expresiones de forma cerrada para la densidad de energía de deformación o energía libre de Helmholtz de un material no lineal que posee simetría isotrópica. ^[6] ${\displaystyle f}$

Esta técnica fue introducida por primera vez en la turbulencia isotrópica por Howard P. Robertson en 1940, donde pudo derivar la ecuación de Kármán-Howarth a partir del principio invariante. ^[7] George Batchelor y Subrahmanyan Chandrasekhar explotaron esta técnica y desarrollaron un tratamiento extendido para la turbulencia axisimétrica. ^{[8] [9] [10]}

Invariantes de tensores no simétricos

Un tensor real en 3D (es decir, uno con una matriz de componentes de 3x3) tiene hasta seis invariantes independientes, tres de los cuales son los invariantes de su parte simétrica y tres que caracterizan la orientación del vector axial de la parte antisimétrica en relación con las direcciones principales de la parte simétrica. Por ejemplo, si los componentes cartesianos de son ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix}},}$

El primer paso sería evaluar el vector axial asociado con la parte antisimétrica. En concreto, el vector axial tiene componentes ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}}=-850\\w_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}}=-1125\\w_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}=-5300\end{aligned}}}$

El siguiente paso busca los valores principales de la parte simétrica de . Aunque los valores propios de un tensor no simétrico real pueden ser complejos, los valores propios de su parte simétrica siempre serán reales y, por lo tanto, se pueden ordenar de mayor a menor. Se pueden asignar sentidos a las direcciones de base principal ortonormales correspondientes para garantizar que el vector axial apunte dentro del primer octante. Con respecto a esa base especial, los componentes de son ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle [A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&3125\\2500&1250&-3750\\-3125&3750&625\end{bmatrix}},}$

Los tres primeros invariantes de son los componentes diagonales de esta matriz: (igual a los valores principales ordenados de la parte simétrica del tensor). Los tres invariantes restantes son los componentes del vector axial en esta base: . Nota: la magnitud del vector axial, , es el único invariante de la parte oblicua de , mientras que estos tres invariantes distintos caracterizan (en cierto sentido) la "alineación" entre las partes simétrica y oblicua de . Por cierto, es un mito que un tensor sea definido positivo si sus valores propios son positivos. En cambio, es definido positivo si y solo si los valores propios de su parte simétrica son positivos. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{1}=A'_{11}=1875,a_{2}=A'_{22}=1250,a_{3}=A'_{33}=625}$ ${\displaystyle w'_{1}=A'_{32}=3750,w'_{2}=A'_{13}=3125,w'_{3}=A'_{21}=2500}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Véase también

• Polinomio simétrico
• Polinomio simétrico elemental
• Las identidades de Newton
• Teoría invariante

Referencias

1. Spencer, AJM (1980). Mecánica del medio continuo . Longman. ISBN 0-582-44282-6.
2. Kelly, PA. "Lecture Notes: An introduction to Solid Mechanics" (PDF) . Consultado el 27 de mayo de 2018 .
3. Kindlmann, G. "Invariantes tensoriales y sus gradientes" (PDF) . Consultado el 24 de enero de 2019 .
4. Schröder, Jörg; Neff, Patrizio (2010). Convexidad poli, cuasi y de rango uno en mecánica aplicada . Saltador.
5. Betten, J. (1987). "Invariantes irreducibles de tensores de cuarto orden". Modelado matemático . 8 : 29–33. doi : 10.1016/0270-0255(87)90535-5 .
6. Ogden, RW (1984). Deformaciones elásticas no lineales . Dover.
7. Robertson, HP (1940). "La teoría invariante de la turbulencia isotrópica". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 36 (2). Cambridge University Press: 209–223. Bibcode :1940PCPS...36..209R. doi :10.1017/S0305004100017199. S2CID  122767772.
8. Batchelor, GK (1946). "La teoría de la turbulencia axisimétrica". Proc. R. Soc. Lond. A . 186 (1007): 480–502. Código Bibliográfico :1946RSPSA.186..480B. doi : 10.1098/rspa.1946.0060 .
9. Chandrasekhar, S. (1950). "La teoría de la turbulencia axisimétrica". Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 242 (855): 557–577. Bibcode :1950RSPTA.242..557C. doi :10.1098/rsta.1950.0010. S2CID  123358727.
10. Chandrasekhar, S. (1950). "La desintegración de la turbulencia axisimétrica". Proc. R. Soc. A . 203 (1074): 358–364. Código Bibliográfico :1950RSPSA.203..358C. doi :10.1098/rspa.1950.0143. S2CID  121178989.