Un conjunto de dados es intransitivo (o no transitivo) si contiene X>2 dados, X1 , X2 y X3 ... con la propiedad de que X1 obtiene un número mayor que X2 más de la mitad de las veces, y X2 obtiene un número mayor que X3, etc... más de la mitad de las veces, pero donde no es cierto que X1 obtiene un número mayor que Xn más de la mitad de las veces. En otras palabras, un conjunto de dados es intransitivo si la relación binaria ( X obtiene un número mayor que Y más de la mitad de las veces) sobre sus elementos no es transitiva . Más simplemente, X1 normalmente le gana a X2 , X2 normalmente le gana a X3 , pero X1 normalmente no le gana a Xn .
Es posible encontrar conjuntos de dados con la propiedad aún más fuerte de que, para cada dado del conjunto, hay otro dado que arroja un número mayor que él más de la mitad de las veces. Esto es diferente en que en lugar de solo " A normalmente no le gana a C " ahora es " C normalmente le gana a A ". Usando un conjunto de dados como este, uno puede inventar juegos que están sesgados de maneras que las personas no acostumbradas a los dados intransitivos podrían no esperar (ver Ejemplo). [1] [2] [3] [4]
Considere el siguiente conjunto de dados.
La probabilidad de que A obtenga un número mayor que B , la probabilidad de que B obtenga un número mayor que C y la probabilidad de que C obtenga un número mayor que A son todas5/9 , por lo que este conjunto de dados es intransitivo. De hecho, tiene la propiedad aún más fuerte de que, por cada dado del conjunto, hay otro dado que arroja un número mayor que él más de la mitad de las veces.
Ahora, consideremos el siguiente juego, que se juega con un juego de dados.
Si este juego se juega con un conjunto transitivo de dados, es justo o está sesgado a favor del primer jugador, porque el primer jugador siempre puede encontrar un dado que no sea superado por ningún otro dado más de la mitad de las veces. Sin embargo, si se juega con el conjunto de dados descrito anteriormente, el juego está sesgado a favor del segundo jugador, porque el segundo jugador siempre puede encontrar un dado que supere al dado del primer jugador con probabilidad 5/9 . Las siguientes tablas muestran todos los resultados posibles para los tres pares de dados.
Si se permiten dados ponderados, es decir, con pesos de probabilidad desiguales para cada lado, entonces conjuntos alternativos de tres dados pueden lograr probabilidades incluso mayores que la de que cada dado supere al siguiente en el ciclo. La probabilidad más grande posible es uno sobre la proporción áurea , . [5]
Los dados de Efron son un conjunto de cuatro dados intransitivos inventados por Bradley Efron . [4]
Los cuatro dados A, B, C, D tienen los siguientes números en sus seis caras:
Cada dado es derrotado por el dado anterior en la lista con vuelta completa, con probabilidad 2/3 . C le gana a A con probabilidad 5/9 , y B y D tienen las mismas posibilidades de vencer al otro. [4] Si cada jugador tiene un juego de dados de Efron, existe un continuo de estrategias óptimas para un jugador, en el que elige su dado con las siguientes probabilidades, donde 0 ≤ x ≤ 3/7 : [4]
Los dados de Miwin fueron inventados en 1975 por el físico Michael Winkelmann.
Consideremos un conjunto de tres dados, III, IV y V tales que
Entonces:
Warren Buffett es conocido por ser un fanático de los dados intransitivos. En el libro Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System that Beat the Casinos and Wall Street, se describe una conversación entre él y Edward Thorp . Buffett y Thorp hablaron sobre su interés compartido en los dados intransitivos. "Son una curiosidad matemática, un tipo de dados 'trucados' que confunden las ideas de la mayoría de las personas sobre la probabilidad".
Buffett intentó una vez ganar una partida de dados con Bill Gates usando dados intransitivos. “Buffett sugirió que cada uno de ellos eligiera uno de los dados y luego descartara los otros dos. Apostarían a quién obtendría el número más alto con más frecuencia. Buffett ofreció dejar que Gates eligiera su dado primero. Esta sugerencia despertó instantáneamente la curiosidad de Gates. Pidió examinar los dados, después de lo cual exigió que Buffett eligiera primero”. [6]
En 2010, la revista Wall Street Journal citó a Sharon Osberg, socia de bridge de Buffett, diciendo que cuando visitó su oficina por primera vez 20 años antes, él la engañó para que jugara un juego con dados intransitivos que no se podían ganar y "pensó que era divertidísimo". [7]
Varias personas han introducido variaciones de dados intransitivos donde uno puede competir contra más de un oponente.
Oskar van Deventer presentó un juego de siete dados (todas las caras con probabilidad 1/6 ) de la siguiente manera: [8]
Se puede comprobar que A gana a {B, C, E}; B gana a {C, D, F}; C gana a {D, E, G}; D gana a {A, E, F}; E gana a {B, F, G}; F gana a {A, C, G}; G gana a {A, B, D}. En consecuencia, para dos dados elegidos arbitrariamente hay un tercero que gana a ambos. Es decir,
Cualquiera que sea la elección de los dos oponentes, el tercer jugador encontrará uno de los dados restantes que supere a los dados de ambos oponentes.
El Dr. James Grime descubrió un conjunto de cinco dados de la siguiente manera: [9] [10]
Se puede comprobar que, cuando se juega con un juego de dados Grime:
Sin embargo, cuando se juega con dos conjuntos de dados, la primera cadena sigue siendo la misma, excepto que D le gana a C, pero la segunda cadena se invierte (es decir, A le gana a D, B le gana a E, C le gana a A). En consecuencia, sean cuales sean los dados que elijan los dos oponentes, el tercer jugador siempre puede encontrar uno de los dados restantes que les gane a ambos (siempre que se le permita al jugador elegir entre la opción de un dado y la opción de dos dados):
Todavía no se ha descubierto un juego para cuatro jugadores, pero se ha demostrado que para ello se necesitan al menos 19 dados. [9] [11]
Los tetraedros se pueden utilizar como dados con cuatro resultados posibles .
P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) = 9/16
Las siguientes tablas muestran todos los resultados posibles:
En "A versus B", A gana en 9 de 16 casos.
En "B versus C", B gana en 9 de 16 casos.
En "C versus A", C gana en 9 de 16 casos.
P(A > B) = P(B > C) = 10/16 , P(C > A) = 9/16
En analogía con los dados intransitivos de seis caras, también existen dodecaedros que sirven como dados intransitivos de doce caras . Los puntos de cada uno de los dados dan como resultado la suma de 114. No hay números repetidos en cada uno de los dodecaedros.
Los dodecaedros de Miwin (set 1) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.
Los dodecaedros de Miwin (serie 2) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 71:67.
Conjunto 1:
Conjunto 2:
También es posible construir conjuntos de dodecaedros intransitivos tales que no haya números repetidos y todos los números sean primos. Los dodecaedros intransitivos primos de Miwin ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.
Conjunto 1: Los números suman 564.
Conjunto 2: Los números suman 468.
