En matemáticas , la intransitividad (a veces llamada no transitividad ) es una propiedad de las relaciones binarias que no son relaciones transitivas . Esto puede incluir cualquier relación que no sea transitiva, o la propiedad más fuerte de la antitransitividad , que describe una relación que nunca es transitiva.
Una relación es transitiva si, siempre que relaciona algún A con algún B, y ese B con algún C, también relaciona ese A con ese C. Algunos autores llaman intransitiva a una relación si no es transitiva, es decir, (si la relación en cuestión se llama )
Esta afirmación es equivalente a
Por ejemplo, considere la relación R sobre los números enteros tales que a R b si y solo si a es un múltiplo de b o un divisor de b . Esta relación es intransitiva ya que, por ejemplo, 2 R 6 (2 es un divisor de 6) y 6 R 3 (6 es un múltiplo de 3), pero 2 no es ni un múltiplo ni un divisor de 3. Esto no implica que la relación sea antitransitiva (ver más abajo); por ejemplo, 2 R 6, 6 R 12 y 2 R 12 también.
Como otro ejemplo, en la cadena alimentaria , los lobos se alimentan de ciervos, y los ciervos se alimentan de hierba, pero los lobos no se alimentan de hierba. [1] Por lo tanto, la relación de alimentación entre formas de vida es intransitiva, en este sentido.
Otro ejemplo que no implica bucles de preferencia surge en la masonería : en algunos casos la logia A reconoce a la logia B, y la logia B reconoce a la logia C, pero la logia A no reconoce a la logia C. Por lo tanto, la relación de reconocimiento entre las logias masónicas es intransitiva.
A menudo se utiliza el término intransitivo para referirse a la propiedad más fuerte de la antitransitividad.
En el ejemplo anterior, la relación de alimentación no es transitiva, pero aún así contiene cierta transitividad: por ejemplo, los humanos se alimentan de conejos, los conejos se alimentan de zanahorias y los humanos también se alimentan de zanahorias.
Una relación es antitransitiva si esto nunca ocurre en absoluto, es decir
Muchos autores utilizan el término intransitividad para significar antitransitividad . [2] [3]
Por ejemplo, la relación R sobre los números enteros, tal que a R b si y solo si a + b es impar, es intransitiva. Si a R b y b R c , entonces a y c son impares y b es par, o viceversa. En cualquier caso, a + c es par.
Un segundo ejemplo de relación antitransitiva: la relación de derrota en torneos eliminatorios . Si el jugador A derrotó al jugador B y el jugador B derrotó al jugador C, A nunca pudo haber jugado contra C y, por lo tanto, A no derrotó a C.
Por transposición , cada una de las siguientes fórmulas es equivalente a la antitransitividad de R :
El término intransitividad se utiliza a menudo cuando se habla de escenarios en los que una relación describe las preferencias relativas entre pares de opciones, y la ponderación de varias opciones produce un "bucle" de preferencias:
Piedra, papel, tijera , dados intransitivos y el juego de Penney son ejemplos. Las relaciones combativas reales entre especies competidoras, [5] las estrategias de animales individuales, [6] y las peleas de vehículos teledirigidos en los programas BattleBots ("darwinismo robótico") [7] también pueden ser cíclicas.
Suponiendo que ninguna opción es preferida a sí misma, es decir, la relación es irreflexiva , una relación de preferencia con un bucle no es transitiva. Porque si lo es, cada opción en el bucle es preferida a cada opción, incluida ella misma. Esto se puede ilustrar con este ejemplo de un bucle entre A, B y C. Supongamos que la relación es transitiva. Entonces, como A es preferida a B y B es preferida a C, también A es preferida a C. Pero entonces, como C es preferida a A, también A es preferida a A.
Por lo tanto, tal bucle (o ciclo ) de preferencia se conoce como intransitividad .
Obsérvese que un ciclo no es ni necesario ni suficiente para que una relación binaria sea no transitiva. Por ejemplo, una relación de equivalencia posee ciclos pero es transitiva. Ahora, considere la relación "es un enemigo de" y suponga que la relación es simétrica y satisface la condición de que para cualquier país, cualquier enemigo de un enemigo del país no es en sí mismo un enemigo del país. Este es un ejemplo de una relación antitransitiva que no tiene ciclos. En particular, en virtud de ser antitransitiva, la relación no es transitiva.
El juego de piedra, papel y tijera es un ejemplo. La relación entre piedra, papel y tijera es "derrotas", y las reglas estándar del juego son tales que piedra vence a tijera, tijera vence a papel y papel vence a piedra. Además, también es cierto que tijera no vence a piedra, papel no vence a tijera y piedra no vence a papel. Por último, también es cierto que ninguna opción se vence a sí misma. Esta información se puede representar en una tabla:
El primer argumento de la relación es una fila y el segundo es una columna. Los unos indican que la relación se cumple, el cero indica que no se cumple. Ahora, observe que la siguiente afirmación es verdadera para cualquier par de elementos x e y extraídos (con reemplazo) del conjunto {piedra, tijera, papel}: Si x derrota a y, e y derrota a z, entonces x no derrota a z. Por lo tanto, la relación es antitransitiva.
Por lo tanto, un ciclo no es necesario ni suficiente para que una relación binaria sea antitransitiva.
Se ha sugerido que el sistema de votación Condorcet tiende a eliminar los "bucles intransitivos" cuando participan grandes cantidades de votantes porque los criterios generales de evaluación de los votantes se equilibran. Por ejemplo, los votantes pueden preferir candidatos en función de distintas unidades de medida, como por orden de conciencia social o por orden de mayor conservadoridad fiscal.
En tales casos, la intransitividad se reduce a una ecuación más amplia de números de personas y los pesos de sus unidades de medida a la hora de evaluar a los candidatos.
Como:
Si bien cada votante puede no evaluar las unidades de medida de manera idéntica, la tendencia se convierte entonces en un vector único en el que el consenso acuerda un equilibrio preferido de criterios de los candidatos.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\para todos a,b,c:aRb\ly aRc\implies \lnot (bRc)\\[3pt]&\para todos a,b,c:aRc\ly bRc\implies \lnot (aRb)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1168551e81d1a0a66ea65d8123d3fe3b4e594c)