Intersección de línea y esfera

Las tres posibles intersecciones entre líneas y esferas:
1. Sin intersección.
2. Intersección de puntos.
3. Intersección de dos puntos.

En geometría analítica , una línea y una esfera pueden intersecarse de tres maneras:

1. No hay intersección en absoluto
2. Intersección en exactamente un punto
3. Intersección en dos puntos.

Los métodos para distinguir estos casos y determinar las coordenadas de los puntos en estos últimos casos son útiles en diversas circunstancias. Por ejemplo, es un cálculo común que se realiza durante el trazado de rayos . ^[1]

Cálculo utilizando vectores en 3D

En notación vectorial , las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación para una esfera

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}}$

• ${\displaystyle \mathbf {x} }$ : puntos en la esfera
• ${\displaystyle \mathbf {c} }$ :punto central
• ${\displaystyle r}$ :radio de la esfera

Ecuación para una línea que comienza en ${\displaystyle \mathbf {o} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {o} +d\mathbf {u} }$

• ${\displaystyle \mathbf {x} }$ : puntos en la línea
• ${\displaystyle \mathbf {o} }$ : origen de la linea
• ${\displaystyle d}$ :distancia desde el origen de la línea
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$ : dirección de la línea (un vector distinto de cero)

Para buscar puntos que estén en la línea y en la esfera es necesario combinar las ecuaciones y resolver para , lo que implica el producto escalar de los vectores: ${\displaystyle d}$

Ecuaciones combinadas

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}\Leftrightarrow (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )=r^{2}}$

Ampliado y reorganizado:

${\displaystyle d^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+2d[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]+(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=0}$

Ahora se puede observar la forma de una fórmula cuadrática . (Esta ecuación cuadrática es una instancia de la ecuación de Joachimsthal. ^[2] )

${\displaystyle ad^{2}+bd+c=0}$

dónde

• ${\displaystyle a=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}$
• ${\displaystyle b=2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]}$
• ${\displaystyle c=(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2}}$

Simplificado

${\displaystyle d={\frac {-2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )])^{2}-4\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{2\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}}$

Tenga en cuenta que en el caso específico donde es un vector unitario, y por lo tanto , podemos simplificarlo aún más a (escribiendo en lugar de para indicar un vector unitario): ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}=1}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \nabla =[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]^{2}-(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}$

${\displaystyle d=-[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {\nabla }}}$

• Si , entonces está claro que no existen soluciones, es decir, la línea no interseca la esfera (caso 1). ${\displaystyle \nabla <0}$
• Si , entonces existe exactamente una solución, es decir, la línea sólo toca la esfera en un punto (caso 2). ${\displaystyle \nabla =0}$
• Si , existen dos soluciones, y por tanto la recta toca la esfera en dos puntos (caso 3). ${\displaystyle \nabla >0}$

Véase también

• Intersección_(geometría)#Una_línea_y_un_círculo
• Geometría analítica
• Intersección de línea y plano
• Intersección plano-plano
• Intersección plano-esfera

Referencias

1. Eberly, David H. (2006). Diseño de motores de juegos en 3D: un enfoque práctico para gráficos informáticos en tiempo real, 2.ª edición . Morgan Kaufmann. pág. 698. ISBN 0-12-229063-1.
2. "Ecuación de Joachimsthal".