Subespacios libres de decoherencia

Subespacio del espacio de Hilbert de un sistema cuántico que es invariante a la dinámica no unitaria

Un subespacio libre de decoherencia ( DFS ) es un subespacio del espacio de Hilbert de un sistema cuántico que es invariante a la dinámica no unitaria . Dicho de otro modo, son una pequeña sección del espacio de Hilbert del sistema donde el sistema está desacoplado del entorno y, por lo tanto, su evolución es completamente unitaria. Los DFS también se pueden caracterizar como una clase especial de códigos de corrección de errores cuánticos. En esta representación, son códigos pasivos de prevención de errores, ya que estos subespacios están codificados con información que (posiblemente) no requerirá ningún método de estabilización activo . Estos subespacios evitan interacciones ambientales destructivas aislando la información cuántica . Como tales, son un tema importante en la computación cuántica , donde el control ( coherente ) de los sistemas cuánticos es el objetivo deseado. La decoherencia crea problemas a este respecto al provocar la pérdida de coherencia entre los estados cuánticos de un sistema y, por lo tanto, la descomposición de sus términos de interferencia , lo que conduce a la pérdida de información del sistema cuántico (abierto) al entorno circundante. Dado que las computadoras cuánticas no pueden aislarse de su entorno (es decir, no podemos tener un sistema cuántico verdaderamente aislado en el mundo real) y la información se puede perder, el estudio de los DFS es importante para la implementación de las computadoras cuánticas en el mundo real.

Fondo

Orígenes

El estudio de los DFS comenzó con una búsqueda de métodos estructurados para evitar la decoherencia en el tema del procesamiento de información cuántica (QIP). Los métodos implicaban intentos de identificar estados particulares que tienen el potencial de no ser modificados por ciertos procesos de descoherencia (es decir, ciertas interacciones con el entorno). Estos estudios comenzaron con observaciones realizadas por GM Palma, KA Suominen y AK Ekert , quienes estudiaron las consecuencias del desfase puro en dos qubits que tienen la misma interacción con el entorno. Encontraron que dos de esos qubits no se descoherencian. ^[1] Originalmente, Palma utilizó el término "subdecoherencia" para describir esta situación. Cabe destacar también el trabajo independiente de Martin Plenio , Vlatko Vedral y Peter Knight, quienes construyeron un código de corrección de errores con palabras de código que son invariantes bajo una evolución temporal unitaria particular en la emisión espontánea. ^[2]

Desarrollo adicional

Poco después, LM Duan y GC Guo también estudiaron este fenómeno y llegaron a las mismas conclusiones que Palma, Suominen y Ekert. Sin embargo, Duan y Guo aplicaron su propia terminología, utilizando "estados que preservan la coherencia" para describir estados que no se descohereran con el desfase. Duan y Guo promovieron esta idea de combinar dos qubits para preservar la coherencia contra el desfase, tanto para el desfase colectivo como para la disipación, mostrando que la decoherencia se previene en tal situación. Esto se demostró asumiendo el conocimiento de la fuerza de acoplamiento sistema-entorno . Sin embargo, tales modelos eran limitados ya que se ocupaban únicamente de los procesos de decoherencia de desfase y disipación. Para tratar otros tipos de decoherencias, los modelos anteriores presentados por Palma, Suominen y Ekert, y Duan y Guo fueron presentados en un contexto más general por P. Zanardi y M. Rasetti. Ampliaron el marco matemático existente para incluir interacciones más generales entre el sistema y el entorno, como la decoherencia colectiva (el mismo proceso de decoherencia que actúa sobre todos los estados de un sistema cuántico) y los hamiltonianos generales . Su análisis proporcionó las primeras circunstancias formales y generales para la existencia de estados libres de decoherencia (DF), que no dependían del conocimiento de la fuerza de acoplamiento entre el sistema y el entorno. Zanardi y Rasetti llamaron a estos estados DF "códigos para evitar errores". Posteriormente, Daniel A. Lidar propuso el título de "subespacio libre de decoherencia" para el espacio en el que existen estos estados DF. Lidar estudió la fuerza de los estados DF frente a las perturbaciones y descubrió que la coherencia prevaleciente en los estados DF puede verse alterada por la evolución del hamiltoniano del sistema. Esta observación discernió otro prerrequisito para el posible uso de estados DF para la computación cuántica. Lidar, D. Bacon y KB Whaley obtuvieron un requisito completamente general para la existencia de estados DF expresado en términos de la representación de suma de operadores de Kraus (OSR). Más tarde, A. Shabani y Lidar generalizaron el marco DFS relajando el requisito de que el estado inicial debe ser un estado DF y modificaron algunas condiciones conocidas para DFS. ^[3]

Investigaciones recientes

Un desarrollo posterior se realizó en la generalización de la imagen DFS cuando E. Knill, R. Laflamme y L. Viola introdujeron el concepto de un "subsistema sin ruido". ^{[1] Knill extendió a} representaciones irreducibles de dimensiones superiores del álgebra que genera la simetría dinámica en la interacción sistema-entorno. Trabajos anteriores sobre DFS describieron los estados DF como singletes , que son representaciones irreducibles unidimensionales. Este trabajo resultó exitoso, ya que un resultado de este análisis fue la reducción del número de qubits necesarios para construir un DFS bajo decoherencia colectiva de cuatro a tres. ^[1] La generalización de subespacios a subsistemas formó una base para combinar la mayoría de las estrategias conocidas de prevención y anulación de la decoherencia.

Condiciones para la existencia de subespacios libres de decoherencia

Formulación hamiltoniana

Considérese un sistema cuántico S de dimensión N acoplado a un baño B y descrito por el hamiltoniano combinado de sistema-baño de la siguiente manera: donde el hamiltoniano de interacción se da de la forma habitual como y donde actúan únicamente sobre el sistema (baño), y es el hamiltoniano del sistema (baño), y es el operador identidad que actúa sobre el sistema (baño). En estas condiciones, la evolución dinámica dentro de , donde es el espacio de Hilbert del sistema, es completamente unitaria (todos los estados posibles del baño) si y solo si: $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}{\big (}{\hat {B}}_{i}{\big )}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}{\big (}{\hat {H}}_{B}{\big )}}$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{S}{\big (}{\hat {I}}_{B}{\big )}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall |\phi \rangle }$

1. ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}|\phi \rangle =s_{i}|\phi \rangle ,s_{i}\in \mathbb {C} }$para todo ese lapso y , el espacio de operadores de baño del sistema acotado en , ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{SB}}$
2. El sistema y el baño no están acoplados al principio (es decir, pueden representarse como un estado de producto),
3. no hay "fuga" de estados fuera de ; es decir, el hamiltoniano del sistema no mapea los estados fuera de . ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

En otras palabras, si el sistema comienza en (es decir, el sistema y el baño están inicialmente desacoplados) y el hamiltoniano del sistema sale invariante, entonces es un DFS si y solo si satisface (i). ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$ ${\textstyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}=\operatorname {span} \left[\left\{|\phi _{k}\rangle \right\}_{k=1}^{N}\right]}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

Estos estados son eigenkets degenerados y , por lo tanto, son distinguibles, por lo que preservan la información en ciertos procesos de descoherencia. Cualquier subespacio del espacio de Hilbert del sistema que satisfaga las condiciones anteriores es un subespacio libre de decoherencia. Sin embargo, la información aún puede "filtrarse" de este subespacio si no se cumple la condición (iii). Por lo tanto, incluso si existe un DFS bajo las condiciones hamiltonianas, todavía hay acciones no unitarias que pueden actuar sobre estos subespacios y sacar estados de ellos hacia otro subespacio, que puede o no ser un DFS, del espacio de Hilbert del sistema. ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$

Formulación de representación de suma de operadores

Sea un DFS N-dimensional, donde es el espacio de Hilbert del sistema (solo el sistema cuántico). Los operadores de Kraus cuando se escriben en términos de los N estados base que abarcan se dan como: ^{[ aclaración necesaria ]} donde ( es el hamiltoniano combinado de baño de sistema), actúa sobre , y es una matriz arbitraria que actúa sobre (el complemento ortogonal a ). Dado que opera sobre , entonces no creará decoherencia en ; sin embargo, puede (posiblemente) crear efectos de decoherencia en . Considérense los kets base que abarcan y, además, cumplen: ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{l}={\begin{pmatrix}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\bar {A}} _{l}\end{pmatrix}},\quad g_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|\mathbf {U} _{C}|j\rangle }$$ ${\textstyle \mathbf {U} _{C}=\exp \left({-i\mathbf {H} _{C}t}/{\hbar }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{C}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ $${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle =g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle ,\quad \forall {l}.}$$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$es un operador unitario arbitrario y puede o no depender del tiempo, pero es independiente de la variable de indexación . Las son constantes complejas . Dado que abarca , cualquier estado puro se puede escribir como una combinación lineal de estos kets base: ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{l}}$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{j=1}^{N}b_{j}|j\rangle ,\quad b_{j}\in \mathbb {C} .}$$

Este estado estará libre de decoherencia; esto se puede ver considerando la acción de on : ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(\mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle )\\&=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle )\\\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle .\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en términos de la representación del operador de densidad de , , la evolución de este estado es: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \rho _{\text{initial}}=|\psi \rangle \langle \psi |}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{final}}&=\sum _{l}\mathbf {A} _{l}\rho _{\text{initial}}\mathbf {A} _{l}^{\dagger }\\&=\sum _{l}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |h_{l}\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }\\&=\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

La expresión anterior dice que es un estado puro y que su evolución es unitaria, ya que es unitario. Por lo tanto, cualquier estado en no descoherirá ya que su evolución está regida por un operador unitario y, por lo tanto, su evolución dinámica será completamente unitaria. Por lo tanto, es un subespacio libre de decoherencia. El argumento anterior también se puede generalizar a un estado mixto inicial arbitrario . ^[1] ${\displaystyle \rho _{\text{final}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

Formulación de semigrupos

Esta formulación hace uso del enfoque de semigrupos . El término de descoherencia de Lindblad determina cuándo la dinámica de un sistema cuántico será unitaria; en particular, cuando , donde es la representación del operador de densidad del estado del sistema, la dinámica estará libre de decoherencia. Sea span , donde es el espacio de Hilbert del sistema. Bajo los supuestos de que: ${\displaystyle L_{D}[\rho ]=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$

1. Los parámetros de ruido de la matriz de coeficientes del término de descoherencia de Lindblad no están ajustados (es decir, no se hacen suposiciones especiales sobre ellos)
2. no hay dependencia de las condiciones iniciales del estado inicial del sistema

Una condición necesaria y suficiente para ser un DFS es : ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle \forall {|j\rangle }}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha }|j\rangle =\lambda _{\alpha }|j\rangle ,\quad \forall \alpha .}$$

La expresión anterior establece que todos los estados base son estados propios degenerados de los generadores de error . Como tal, sus respectivos términos de coherencia no se descoheredan. Por lo tanto, los estados internos seguirán siendo mutuamente distinguibles después de un proceso de descoherencia, ya que sus respectivos valores propios están degenerados y, por lo tanto, son identificables después de la acción bajo los generadores de error. ${\displaystyle |j\rangle }$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {F} _{\alpha }\right\}_{\alpha =1}^{M=N\times {N}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

Los DFS como una clase especial de estructuras de preservación de información (IPS) y códigos de corrección de errores cuánticos (QECC)

Estructuras de preservación de la información (IPS)

Los DFS pueden considerarse como información "codificada" a través de su conjunto de estados. Para ver esto, considere un sistema cuántico abierto d -dimensional que se prepara en el estado - un operador de densidad no negativo (es decir, sus valores propios son positivos), normalizado por trazas ( ), que pertenece al espacio de Hilbert-Schmidt del sistema, el espacio de operadores acotados en ( ). Supongamos que este operador de densidad (estado) se selecciona de un conjunto de estados , un DFS de (el espacio de Hilbert del sistema) y donde . Este conjunto de estados se llama código , porque los estados dentro de este conjunto codifican un tipo particular de información; ^[4] es decir, el conjunto S codifica información a través de sus estados. Esta información que está contenida dentro debe poder ser accedida; dado que la información está codificada en los estados en , estos estados deben ser distinguibles para algún proceso, digamos, que intenta adquirir la información. Por lo tanto, para dos estados , el proceso es preservador de información para estos estados si los estados permanecen tan distinguibles después del proceso como lo eran antes de él. Dicho de una manera más general, un código (o DFS) se conserva mediante un proceso si y solo si cada par de estados es tan distinguible después de su aplicación como lo era antes de su aplicación. ^[4] Una descripción más práctica sería: se conserva mediante un proceso si y solo si ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho ]=1}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B({\mathcal {H}})}}}$ ${\displaystyle S=\left\{\rho _{i}\right\}_{i=1}^{n}\in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle n<d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S,\;(i\neq j)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle \forall {\boldsymbol {\rho }},{\boldsymbol {\rho }}'\in S}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle {\big \|}{\boldsymbol {\zeta }}{\big (}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big )}{\big \|}_{1}={\big \|}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big \|}_{1}.}$$

Esto simplemente dice que es un mapa que preserva la distancia de traza 1:1 en . ^[4] En esta imagen, los DFS son conjuntos de estados (códigos más bien) cuya diferenciabilidad mutua no se ve afectada por un proceso . ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

Códigos de corrección de errores cuánticos (QECC)

Dado que los DFS pueden codificar información a través de sus conjuntos de estados, son seguros contra errores (procesos de descoherencia). De esta manera, los DFS pueden considerarse como una clase especial de QECC, donde la información se codifica en estados que pueden verse alterados por una interacción con el entorno, pero que pueden recuperarse mediante algún proceso de reversión. ^[1]

Consideremos un código , que es un subespacio del espacio de Hilbert del sistema, con información codificada dada por (es decir, las "palabras de código"). Este código se puede implementar para proteger contra la decoherencia y, por lo tanto, evitar la pérdida de información en una pequeña sección del espacio de Hilbert del sistema. Los errores son causados ​​por la interacción del sistema con el entorno (baño) y están representados por los operadores de Kraus. ^[1] Después de que el sistema ha interactuado con el baño, la información contenida en él debe poder ser "decodificada"; por lo tanto, para recuperar esta información se introduce un operador de recuperación . Por lo tanto, un QECC es un subespacio junto con un conjunto de operadores de recuperación . ${\displaystyle C=\operatorname {span} \left[\left\{|j_{k}\rangle \right\}\right]}$ ${\displaystyle \left\{|j_{k}\rangle \right\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$

Sea un QECC para los operadores de error representados por los operadores de Kraus , con operadores de recuperación Entonces es un DFS si y solo si al restringirse a , entonces , ^[1] donde es el inverso del operador de evolución del sistema. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {A} _{l}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{r}\propto \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger },\forall {r}}$ ${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger }}$

En esta imagen de inversión de operaciones cuánticas, los DFS son una instancia especial de los QECC más generales en los que, al restringirse a un código dado, los operadores de recuperación se vuelven proporcionales al inverso del operador de evolución del sistema, lo que permite la evolución unitaria del sistema.

Obsérvese que la sutil diferencia entre estas dos formulaciones existe en las dos palabras preservación y corrección ; en el primer caso, el método utilizado es la prevención de errores , mientras que en el segundo caso es la corrección de errores . Por lo tanto, las dos formulaciones difieren en que una es un método pasivo y la otra es un método activo .

Ejemplo de un subespacio libre de decoherencia

Desfase colectivo

Consideremos un espacio de Hilbert de dos cúbits, abarcado por los cúbits base que experimentan un desfase colectivo . Se creará una fase aleatoria entre estos cúbits base; por lo tanto, los cúbits se transformarán de la siguiente manera: ${\displaystyle \left\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\right\}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{2i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

Bajo esta transformación los estados base obtienen el mismo factor de fase . Por lo tanto, teniendo en cuenta esto, un estado puede codificarse con esta información (es decir, el factor de fase) y, por lo tanto, evolucionar unitariamente bajo este proceso de desfase, definiendo los siguientes qubits codificados: ${\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}$ ${\displaystyle e^{i\phi }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{E}\rangle &=|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1_{E}\rangle &=|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

Dado que estos son qubits base, entonces cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal de estos estados; por lo tanto, $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle =l|0_{E}\rangle +m|1_{E}\rangle ,\quad l,m\in \mathbb {C} .}$$

Este estado evolucionará bajo el proceso de desfase como: $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle \longrightarrow l|0\rangle _{1}\otimes e^{i\phi }|1\rangle _{2}+e^{i\phi }m|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}=e^{i\phi }|\psi _{E}\rangle .}$$

Sin embargo, la fase general de un estado cuántico no es observable y, como tal, es irrelevante en la descripción del estado. Por lo tanto, permanece invariable bajo este proceso de desfase y, por lo tanto, el conjunto base es un subespacio libre de decoherencia del espacio de Hilbert de cuatro dimensiones. De manera similar, los subespacios también son DFS. ${\displaystyle |\psi _{E}\rangle }$ ${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}}}$ ${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}},{\big \{}|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}{\big \}}}$

Alternativa: subsistemas libres de decoherencia

Consideremos un sistema cuántico con un espacio de Hilbert de sistema N-dimensional que tiene una descomposición general del subsistema El subsistema es un subsistema libre de decoherencia con respecto a un acoplamiento sistema-entorno si cada estado puro en permanece sin cambios con respecto a este subsistema bajo la evolución OSR. Esto es cierto para cualquier condición inicial posible del entorno. ^{[5] Para entender la diferencia entre un} subespacio libre de decoherencia y un subsistema libre de decoherencia , considere codificar un solo qubit de información en un sistema de dos qubits. Este sistema de dos qubits tiene un espacio de Hilbert de 4 dimensiones; un método para codificar un solo qubit en este espacio es codificando información en un subespacio que está abarcado por dos qubits ortogonales del espacio de Hilbert de 4 dimensiones. Supongamos que la información se codifica en el estado ortogonal de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}_{C}=\bigoplus _{j=1}^{N}(\bigotimes _{i=1}^{l_{N}}{\mathcal {H}}_{ji}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$ ${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow \alpha |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}+\beta |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.}$$

Esto demuestra que la información ha sido codificada en un subespacio del espacio de Hilbert de dos cúbits. Otra forma de codificar la misma información es codificar solo uno de los cúbits de los dos cúbits. Supongamos que el primer cúbit está codificado, entonces el estado del segundo cúbit es completamente arbitrario ya que:

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow {\bigl (}\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}{\bigr )}\otimes |\psi \rangle .}$$

Esta asignación es una asignación de uno a muchos desde la información de codificación de un qubit a un espacio de Hilbert de dos qubits. ^[5] En cambio, si la asignación es a , entonces es idéntica a una asignación de un qubit a un subespacio del espacio de Hilbert de dos qubits. ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Véase también

• Decoherencia cuántica
• Medición cuántica

Referencias

1. Lidar, Daniel A.; Whaley, K. Birgitta (2003). "Subespacios y subsistemas libres de decoherencia". En Benatti, F.; Floreanini, R. (eds.). Dinámica cuántica irreversible . Springer Lecture Notes in Physics. Vol. 622. Berlín. págs. 83–120. arXiv : quant-ph/0301032 . Código Bibliográfico : 2003LNP...622...83L. doi : 10.1007/3-540-44874-8_5. ISBN : 978-3-540-40223-7. Número de identificación del sujeto  117748831.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Plenio, MB; Vedral, V.; Knight, PL (1997). "Corrección de error cuántico en presencia de emisión espontánea". Phys. Rev. A . 55 (1): 67. arXiv : quant-ph/9603022 . Código Bibliográfico :1997PhRvA..55...67P. doi :10.1103/PhysRevA.55.67. S2CID  119420057.
3. Shabani, Alireza; Lidar, Daniel A. (2005). "Teoría de subespacios y subsistemas libres de decoherencia y sin inicialización". Phys. Rev. A . 72 (4): 042303. arXiv : quant-ph/0505051 . Código Bibliográfico :2005PhRvA..72d2303S. doi :10.1103/PhysRevA.72.042303. S2CID  3729369.
4. Blume-Kohout, Robin; Ng, Hui Khoon; Poulin, David; Viola, Lorenza (2008). "Caracterización de la estructura de la información preservada en procesos cuánticos". Phys. Rev. Lett . 100 (3): 030501. arXiv : 0705.4282 . Bibcode :2008PhRvL.100c0501B. doi :10.1103/PhysRevLett.100.030501. PMID  18232952. S2CID  14309547.
5. Bacon, D. (2001). Decoherencia, control y simetría en computadoras cuánticas (tesis doctoral). Universidad de California, Berkeley. arXiv : quant-ph/0305025 .