J-integral

Cálculo de la tasa de liberación de energía de deformación

La integral J representa una forma de calcular la tasa de liberación de energía de deformación , o trabajo ( energía ) por unidad de área de superficie de fractura, en un material. ^[1] El concepto teórico de la integral J fue desarrollado en 1967 por GP Cherepanov ^[2] e independientemente en 1968 por James R. Rice , ^{[3] quien demostró que una} integral de trayectoria de contorno energético (llamada J ) era independiente de la trayectoria alrededor de una grieta .

Se desarrollaron métodos experimentales utilizando la integral que permitió la medición de propiedades críticas de fractura en tamaños de muestra que son demasiado pequeños para que la Mecánica de Fractura Elástica Lineal (LEFM) sea válida. ^[4] Estos experimentos permiten la determinación de la tenacidad de fractura a partir del valor crítico de la energía de fractura J _Ic , que define el punto en el que se produce una fluencia plástica a gran escala durante la propagación bajo la carga de modo I. ^{[1] [5]}

La integral J es igual a la tasa de liberación de energía de deformación para una grieta en un cuerpo sometido a una carga monótona . ^[6] Esto es generalmente cierto, en condiciones cuasiestáticas, solo para materiales elásticos lineales . Para materiales que experimentan fluencia a pequeña escala en la punta de la grieta, J se puede utilizar para calcular la tasa de liberación de energía en circunstancias especiales, como carga monótona en modo III ( corte antiplano ). La tasa de liberación de energía de deformación también se puede calcular a partir de J para materiales plásticos de endurecimiento por ley de potencia pura que experimentan fluencia a pequeña escala en la punta de la grieta.

La cantidad J no es independiente de la trayectoria para la carga monótona de modo I y modo II de materiales elastómeros-plásticos, por lo que solo un contorno muy cercano a la punta de la grieta proporciona la tasa de liberación de energía. Además, Rice demostró que J es independiente de la trayectoria en materiales plásticos cuando no hay una carga no proporcional. La descarga es un caso especial de esto, pero la carga plástica no proporcional también invalida la independencia de la trayectoria. Dicha carga no proporcional es la razón de la dependencia de la trayectoria para los modos de carga en el plano en materiales elastómeros-plásticos.

Integral J bidimensional

Figura 1. Línea J-integral alrededor de una muesca en dos dimensiones.

La integral J bidimensional se definió originalmente como ^[3] (ver la Figura 1 para una ilustración)

${\displaystyle J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)}$

donde W ( x ₁ , x ₂ ) es la densidad de energía de deformación, x ₁ , x ₂ son las direcciones de las coordenadas, t  = [ σ ] n es el vector de tracción superficial , n es la normal a la curva Γ, [ σ ] es el tensor de tensión de Cauchy y u es el vector de desplazamiento . La densidad de energía de deformación está dada por

${\displaystyle W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.}$

La integral J alrededor de la punta de una grieta se expresa frecuentemente en una forma más general ^{[ cita requerida ]} (y en notación de índice ) como

${\displaystyle J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma }$

donde es el componente de la integral J para la apertura de la grieta en la dirección y es una pequeña región alrededor de la punta de la grieta. Usando el teorema de Green podemos demostrar que esta integral es cero cuando el límite es cerrado y encierra una región que no contiene singularidades y está simplemente conexa . Si las caras de la grieta no tienen ninguna tracción superficial sobre ellas, entonces la integral J también es independiente de la trayectoria . ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Rice también demostró que el valor de la integral J representa la tasa de liberación de energía para el crecimiento de grietas planas. La integral J se desarrolló debido a las dificultades que implica calcular la tensión cerca de una grieta en un material elástico no lineal o elastoplástico . Rice demostró que si se asumía una carga monótona (sin ninguna descarga plástica), entonces la integral J también podía usarse para calcular la tasa de liberación de energía de materiales plásticos.

Tenacidad integral J y tenacidad a la fractura

Para materiales isótropos, perfectamente frágiles y elásticos lineales, la integral J puede estar directamente relacionada con la tenacidad a la fractura si la grieta se extiende en línea recta con respecto a su orientación original. ^[6]

Para la deformación plana, bajo condiciones de carga de Modo I , esta relación es

${\displaystyle J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)}$

donde es la tasa de liberación de energía de deformación crítica, es la tenacidad a la fractura en carga de Modo I, es el coeficiente de Poisson y E es el módulo de Young del material. ${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$ ${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$ ${\displaystyle \nu }$

Para la carga del Modo II , la relación entre la integral J y la tenacidad a la fractura del modo II ( ) es ${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$

${\displaystyle J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]}$

Para la carga del Modo III , la relación es

${\displaystyle J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

Materiales elastoplásticos y la solución HRR

Rutas para el cálculo de la integral J alrededor de una grieta en un material elasto-plástico bidimensional.

Posteriormente, Hutchinson, Rice y Rosengren ^{[7] [8]} demostraron que J caracteriza los campos singulares de tensión y deformación en la punta de una grieta en materiales elastómeros-plásticos no lineales (endurecimiento por ley de potencia) donde el tamaño de la zona plástica es pequeño en comparación con la longitud de la grieta. Hutchinson utilizó una ley constitutiva del material de la forma sugerida por W. Ramberg y W. Osgood : ^[9]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$

donde σ es la tensión en tensión uniaxial, σ _y es una tensión de fluencia , ε es la deformación y ε _y = σ _y / E es la deformación de fluencia correspondiente. La cantidad E es el módulo de Young elástico del material. El modelo está parametrizado por α , una constante adimensional característica del material, y n , el coeficiente de endurecimiento por deformación . Este modelo es aplicable solo a situaciones en las que la tensión aumenta monótonamente, los componentes de la tensión permanecen aproximadamente en las mismas proporciones a medida que progresa la carga (carga proporcional) y no hay descarga .

Si se aplica una tensión de tracción de campo lejano σ _far al cuerpo que se muestra en la figura adyacente, la integral J alrededor de la trayectoria Γ ₁ (elegida para estar completamente dentro de la zona elástica) está dada por

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.}$

Dado que la integral total alrededor de la grieta se desvanece y las contribuciones a lo largo de la superficie de la grieta son cero, tenemos

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.}$

Si se elige el camino Γ ₂ de manera que esté dentro del dominio completamente plástico, Hutchinson demostró que

${\displaystyle J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I}$

donde K es una amplitud de tensión, ( r , θ ) es un sistema de coordenadas polares con origen en la punta de la grieta, s es una constante determinada a partir de una expansión asintótica del campo de tensión alrededor de la grieta e I es una integral adimensional. La relación entre las J-integrales alrededor de Γ ₁ y Γ ₂ conduce a la restricción

${\displaystyle s={\frac {2n+1}{n+1}}}$

y una expresión para K en términos de la tensión de campo lejano

${\displaystyle K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}}$

donde β = 1 para tensión plana y β = 1 − ν ² para deformación plana ( ν es el coeficiente de Poisson ).

La expansión asintótica del campo de tensión y las ideas anteriores se pueden utilizar para determinar los campos de tensión y deformación en términos de la integral J:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )}$

donde y son funciones adimensionales. ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{ij}}$ ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{ij}}$

Estas expresiones indican que J puede interpretarse como un análogo plástico del factor de intensidad de tensión ( K ) que se utiliza en la mecánica de fractura elástica lineal, es decir, podemos utilizar un criterio como J > J _Ic como criterio de crecimiento de grietas.

Véase también

• Tenacidad a la fractura
• Tenacidad
• Mecánica de fracturas
• Factor de intensidad del estrés
• Naturaleza del campo local de la banda deslizante

Referencias

1. Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Comportamiento mecánico de los materiales"
2. GP Cherepanov, La propagación de grietas en un medio continuo , Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 31(3), 1967, págs. 503–512.
3. JR Rice, Una integral independiente de la trayectoria y el análisis aproximado de la concentración de deformación por muescas y grietas , Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, págs. 379–386.
4. Lee, RF y Donovan, JA (1987). Integral J y desplazamiento de apertura de grietas como criterios de iniciación de grietas en caucho natural en muestras de tracción y cizallamiento puro. Química y tecnología del caucho, 60(4), 674–688. [1]
5. Meyers y Chawla (1999): "Comportamiento mecánico de los materiales", 445–448.
6. Yoda, M., 1980, La tenacidad de fractura integral J para el modo II , Int. J. Fracture, 16(4), págs. R175–R178.
7. Hutchinson, JW (1968), "Comportamiento singular al final de una grieta de tracción en un material endurecido" (PDF) , Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 16 (1): 13–31, Bibcode :1968JMPSo..16...13H, doi :10.1016/0022-5096(68)90014-8
8. Rice, JR; Rosengren, GF (1968), "Deformación por deformación plana cerca de la punta de una grieta en un material endurecido por ley de potencia", Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 16 (1): 1–12, Bibcode :1968JMPSo..16....1R, doi :10.1016/0022-5096(68)90013-6, archivado desde el original el 4 de septiembre de 2013
9. Ramberg, Walter; Osgood, William R. (1943), "Descripción de curvas de tensión-deformación mediante tres parámetros", Comité Asesor Nacional de Aeronáutica de Estados Unidos , 902

Enlaces externos

• JR Rice, "Una integral independiente de la trayectoria y el análisis aproximado de la concentración de deformación por muescas y grietas", Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, págs. 379–386.
• Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Comportamiento mecánico de materiales", [2]
• X. Chen (2014), "Integral independiente de la trayectoria", en: Enciclopedia de tensiones térmicas, editado por RB Hetnarski, Springer, ISBN 978-9400727380 . 
• Notas sobre mecánica de fracturas no lineales del profesor John Hutchinson (de la Universidad de Harvard)
• Notas sobre fractura de películas delgadas y multicapas por el profesor John Hutchinson (de la Universidad de Harvard)
• Agrietamiento en modo mixto en materiales estratificados por los profesores John Hutchinson y Zhigang Suo (de la Universidad de Harvard)
• Mecánica de fracturas por Piet Schreurs (de la TU Eindhoven, Países Bajos)
• Introducción a la mecánica de fracturas por el Dr. CH Wang (DSTO - Australia)
• Notas del curso de mecánica de fracturas del profesor Rui Huang (de la Universidad de Texas en Austin)
• Soluciones HRR de Ludovic Noels (Universidad de Lieja)