Integral incompleta de Fermi-Dirac

En matemáticas , la integral incompleta de Fermi-Dirac , llamada así en honor a Enrico Fermi y Paul Dirac , para un índice y un parámetro viene dada por ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,b){\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\;\mathrm {d} t}$

Su derivada es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {F} _{j}(x,b)=\operatorname {F} _{j-1}(x,b)}$

y esta relación derivada se puede utilizar para encontrar el valor de la integral incompleta de Fermi-Dirac para índices no positivos . ^[1] ${\displaystyle j}$

Ésta es una definición alternativa del polilogaritmo incompleto , ya que:

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\;\mathrm {d} t={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{\displaystyle {\frac {e^{t}}{e^{x}}}+1}}\;\mathrm {d} t=-{\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }\!{\frac {t^{j}}{\displaystyle {\frac {e^{t}}{-e^{x}}}-1}}\;\mathrm {d} t=-\operatorname {Li} _{j+1}(b,-e^{x})}$

Que se puede utilizar para probar la identidad:

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,b)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{j+1}}}{\frac {\Gamma (j+1,nb)}{\Gamma (j+1)}}e^{nx}}$

donde es la función gamma y es la función gamma incompleta superior . Desde , se deduce que: ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s,y)}$ ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x,0)=\operatorname {F} _{j}(x)}$

donde es la integral completa de Fermi-Dirac . ${\displaystyle \operatorname {F} _{j}(x)}$

Valores especiales

La forma cerrada de la función existe para : ^[1] ${\displaystyle j=0}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{0}(x,b)=\ln \!{\big (}1+e^{x-b}{\big )}-(b-x)}$

Ver también

• Integral completa de Fermi-Dirac
• Fermi-Dirac estadísticas
• Polilogaritmo incompleto
• polilogaritmo

Referencias

1. Guano, Michele (1995). "Algoritmo 745: cálculo de la integral de Fermi-Dirac completa e incompleta". Transacciones ACM sobre software matemático . 21 (3). doi : 10.1145/210089.210090 . Consultado el 26 de junio de 2024 .

enlaces externos

• Biblioteca científica GNU - Manual de referencia

• Weisstein, Eric W. "Distribución Fermi-Dirac". MundoMatemático .