integral J

Cálculo de la tasa de liberación de energía de deformación.

La integral J representa una forma de calcular la tasa de liberación de energía de deformación , o trabajo ( energía ) por unidad de superficie de fractura, en un material. ^[1] El concepto teórico de integral J fue desarrollado en 1967 por GP Cherepanov ^[2] e independientemente en 1968 por James R. Rice , ^[3] quien demostró que una integral energética de trayectoria de contorno (llamada J ) era independiente de la trayectoria alrededor de una grieta .

Se desarrollaron métodos experimentales utilizando la integral que permitió medir propiedades críticas de fractura en tamaños de muestra que son demasiado pequeños para que la Mecánica de Fractura Elástica Lineal (LEFM) sea válida. ^[4] Estos experimentos permiten determinar la tenacidad a la fractura a partir del valor crítico de la energía de fractura J _Ic , que define el punto en el que se produce la fluencia plástica a gran escala durante la propagación bajo carga de modo I. ^{[ 15]}

La integral J es igual a la tasa de liberación de energía de deformación para una grieta en un cuerpo sometido a una carga monótona . ^[6] Esto es generalmente cierto, en condiciones cuasiestáticas, sólo para materiales elásticos lineales . Para materiales que experimentan fluencia a pequeña escala en la punta de la grieta, J se puede utilizar para calcular la tasa de liberación de energía en circunstancias especiales, como carga monótona en modo III ( corte antiplano ). La tasa de liberación de energía de deformación también se puede calcular a partir de J para materiales plásticos endurecidos por ley potencial pura que experimentan fluencia a pequeña escala en la punta de la grieta.

La cantidad J no es independiente de la trayectoria para la carga monótona en modo I y modo II de materiales elástico-plásticos, por lo que sólo un contorno muy cerca de la punta de la grieta proporciona la tasa de liberación de energía. Además, Rice demostró que J es independiente de la trayectoria en materiales plásticos cuando no hay carga no proporcional. La descarga es un caso especial, pero la carga plástica no proporcional también invalida la independencia de la trayectoria. Esta carga no proporcional es la razón de la dependencia de la trayectoria de los modos de carga en el plano en materiales plásticos elásticos.

Integral J bidimensional

Figura 1. Línea integral J alrededor de una muesca en dos dimensiones.

La integral J bidimensional se definió originalmente como ^[3] (consulte la Figura 1 para ver una ilustración)

${\displaystyle J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)}$

donde W ( x ₁ , x ₂ ) es la densidad de energía de deformación, x ₁ , x ₂ son las direcciones de las coordenadas, t  = [ σ ] n es el vector de tracción de la superficie , n es la normal a la curva Γ, [ σ ] es el tensor de tensión de Cauchy , y u es el vector de desplazamiento . La densidad de energía de deformación está dada por

${\displaystyle W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.}$

La integral J alrededor de la punta de una grieta se expresa con frecuencia en una forma más general ^{[ cita necesaria ]} (y en notación de índice ) como

${\displaystyle J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma }$

donde es el componente de la integral J para la apertura de la grieta en la dirección y es una pequeña región alrededor de la punta de la grieta. Usando el teorema de Green podemos demostrar que esta integral es cero cuando la frontera es cerrada y encierra una región que no contiene singularidades y simplemente está conexa . Si las caras de la grieta no tienen tracción superficial , entonces la integral J también es independiente de la trayectoria . ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Rice también demostró que el valor de la integral J representa la tasa de liberación de energía para el crecimiento de grietas planas. La integral J se desarrolló debido a las dificultades que implica calcular la tensión cerca de una grieta en un material elástico o elástico- plástico no lineal . Rice demostró que si se suponía una carga monótona (sin ninguna descarga de plástico), entonces la integral J también podría usarse para calcular la tasa de liberación de energía de los materiales plásticos.

Integral J y tenacidad a la fractura

Para materiales elásticos lineales isotrópicos, perfectamente frágiles, la integral J puede estar directamente relacionada con la tenacidad a la fractura si la grieta se extiende en línea recta con respecto a su orientación original. ^[6]

Para deformación plana, bajo condiciones de carga Modo I , esta relación es

${\displaystyle J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)}$

donde es la tasa de liberación de energía de deformación crítica, es la tenacidad a la fractura en la carga de Modo I, es la relación de Poisson y E es el módulo de Young del material. ${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$ ${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$ ${\displaystyle \nu }$

Para la carga Modo II , la relación entre la integral J y la tenacidad a la fractura modo II ( ) es ${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$

${\displaystyle J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]}$

Para la carga en Modo III , la relación es

${\displaystyle J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

Materiales elástico-plásticos y la solución HRR

Caminos para el cálculo de la integral J alrededor de una grieta en un material elástico-plástico bidimensional.

Hutchinson, Rice y Rosengren ^{[7] [8]} demostraron posteriormente que J caracteriza los campos singulares de tensión y deformación en la punta de una grieta en materiales elástico-plásticos no lineales (endurecimiento por ley de potencia) donde el tamaño de la zona plástica es pequeño en comparación con la longitud de la grieta. Hutchinson utilizó una ley constitutiva material de la forma sugerida por W. Ramberg y W. Osgood : ^[9]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$

donde σ es la tensión en tensión uniaxial, σ _y es un límite elástico , ε es la deformación y ε _y = σ _y / E es la deformación elástica correspondiente. La cantidad E es el módulo de Young elástico del material. El modelo está parametrizado por α , una característica constante adimensional del material, y n , el coeficiente de endurecimiento por trabajo . Este modelo es aplicable sólo a situaciones en las que la tensión aumenta monótonamente, los componentes de la tensión permanecen aproximadamente en las mismas proporciones a medida que avanza la carga (carga proporcional) y no hay descarga .

Si se aplica una tensión de tracción de campo lejano σ _far al cuerpo que se muestra en la figura adyacente, la integral J alrededor de la trayectoria Γ ₁ (elegida para estar completamente dentro de la zona elástica) viene dada por

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.}$

Dado que la integral total alrededor de la grieta desaparece y las contribuciones a lo largo de la superficie de la grieta son cero, tenemos

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.}$

Si el camino Γ ₂ se elige de manera que esté dentro del dominio totalmente plástico, Hutchinson demostró que

${\displaystyle J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I}$

donde K es una amplitud de tensión, ( r , θ ) es un sistema de coordenadas polares con origen en la punta de la grieta, s es una constante determinada a partir de una expansión asintótica del campo de tensiones alrededor de la grieta e I es una integral adimensional. La relación entre las integrales J alrededor de Γ ₁ y Γ ₂ conduce a la restricción

${\displaystyle s={\frac {2n+1}{n+1}}}$

y una expresión para K en términos de la tensión de campo lejano

${\displaystyle K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}}$

donde β = 1 para tensión plana y β = 1 − ν ² para deformación plana ( ν es la relación de Poisson ).

La expansión asintótica del campo de tensiones y las ideas anteriores se pueden utilizar para determinar los campos de tensiones y deformaciones en términos de la integral J:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )}$

donde y son funciones adimensionales. ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{ij}}$ ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{ij}}$

Estas expresiones indican que J puede interpretarse como un análogo plástico del factor de intensidad de tensión ( K ) que se usa en la mecánica de fractura elástica lineal, es decir, podemos usar un criterio como J > J _Ic como criterio de crecimiento de grieta.

Ver también

• Tenacidad a la fractura
• Tenacidad
• Mecánica de fracturas
• Factor de intensidad del estrés
• Naturaleza del campo local de banda deslizante.

Referencias

1. Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Comportamiento Mecánico de los Materiales"
2. GP Cherepanov, La propagación de grietas en un medio continuo , Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 31 (3), 1967, págs.
3. JR Rice, Una integral independiente de la trayectoria y el análisis aproximado de la concentración de deformaciones por muescas y grietas , Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, págs.
4. Lee, RF y Donovan, JA (1987). Integral en J y desplazamiento de apertura de grieta como criterio de iniciación de grieta en caucho natural en muestras puras de corte y tracción. Química y tecnología del caucho, 60 (4), 674–688. [1]
5. Meyers y Chawla (1999): "Comportamiento mecánico de los materiales", 445–448.
6. Yoda, M., 1980, La tenacidad a la fractura integral J para el Modo II , Int. J. Fractura, 16(4), págs. R175–R178.
7. Hutchinson, JW (1968), "Comportamiento singular al final de una grieta por tracción en un material endurecido" (PDF) , Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 16 (1): 13–31, Bibcode :1968JMPSo.. 16...13H, doi :10.1016/0022-5096(68)90014-8
8. Arroz, JR; Rosengren, GF (1968), "Deformación por deformación plana cerca de la punta de una grieta en un material de endurecimiento por ley potencial", Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 16 (1): 1–12, Bibcode :1968JMPSo..16.. ..1R, doi :10.1016/0022-5096(68)90013-6, archivado desde el original el 4 de septiembre de 2013
9. Ramberg, Walter; Osgood, William R. (1943), "Descripción de las curvas tensión-deformación mediante tres parámetros", Comité Asesor Nacional de Aeronáutica de EE. UU. , 902

enlaces externos

• JR Rice, "Una integral independiente de la trayectoria y el análisis aproximado de la concentración de deformaciones por muescas y grietas", Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, págs.
• Van Vliet, Krystyn J. (2006); "3.032 Comportamiento mecánico de materiales", [2]
• X. Chen (2014), "Path-Independent Integral", en: Encyclopedia of Thermal Stresses, editado por RB Hetnarski, Springer, ISBN 978-9400727380 . 
• Notas sobre mecánica de fracturas no lineales del Prof. John Hutchinson (de la Universidad de Harvard)
• Notas sobre la fractura de películas delgadas y multicapas por el Prof. John Hutchinson (de la Universidad de Harvard)
• Fisuración en modo mixto en materiales estratificados por los Profs. John Hutchinson y Zhigang Suo (de la Universidad de Harvard)
• Mecánica de fracturas por Piet Schreurs (de TU Eindhoven, Países Bajos)
• Introducción a la Mecánica de Fracturas por el Dr. CH Wang (DSTO - Australia)
• Notas del curso de mecánica de fracturas del Prof. Rui Huang (de la Universidad de Texas en Austin)
• Soluciones de recursos humanos de Ludovic Noels (Universidad de Lieja)