Inmanente

Función matemática que generaliza el determinante y la permanente

En matemáticas, el inmanente de una matriz fue definido por Dudley E. Littlewood y Archibald Read Richardson como una generalización de los conceptos de determinante y permanente .

Sea una partición de un entero y sea el carácter teórico de representación irreducible correspondiente del grupo simétrico . El inmanente de una matriz asociada con el carácter se define como la expresión ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Imm} _{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}.}$

Ejemplos

El determinante es un caso especial del inmanente, donde es el carácter alternante , de S _n , definido por la paridad de una permutación . ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$

El permanente es el caso donde es el carácter trivial , que es idénticamente igual a 1. ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

Por ejemplo, para matrices, hay tres representaciones irreducibles de , como se muestra en la tabla de caracteres: ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Como se indicó anteriormente, produce el permanente y produce el determinante, pero produce la operación que se asigna de la siguiente manera: ${\displaystyle \chi _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{2}}$ ${\displaystyle \chi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}$

Propiedades

El inmanente comparte varias propiedades con el determinante y el permanente. En particular, el inmanente es multilineal en las filas y columnas de la matriz; y el inmanente es invariante ante permutaciones simultáneas de las filas o columnas por el mismo elemento del grupo simétrico .

Littlewood y Richardson estudiaron la relación entre las funciones inmanentes y las funciones de Schur en la teoría de representación del grupo simétrico .

Las condiciones necesarias y suficientes para que la inmanente de una matriz de Gram sea están dadas por el Teorema de Gamas . ${\displaystyle 0}$

Referencias

• DE Littlewood ; AR Richardson (1934). "Caracteres de grupo y álgebras". Philosophical Transactions of the Royal Society A . 233 (721–730): 99–124. Bibcode :1934RSPTA.233...99L. doi :10.1098/rsta.1934.0015.
• DE Littlewood (1950). La teoría de los caracteres de grupo y las representaciones matriciales de grupos (2.ª ed.). Oxford Univ. Press (reimpreso por AMS, 2006). pág. 81.