Teorema de Gamas

Teorema matemático

El teorema de Gamas es un resultado del álgebra multilineal que establece las condiciones necesarias y suficientes para que un tensor simetrizado por una representación irreducible del grupo simétrico sea cero. Fue demostrado en 1988 por Carlos Gamas. ^{[1] Pate [2]} y Berget han dado demostraciones adicionales . ^[3] ${\displaystyle S_{n}}$

Enunciado del teorema

Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita y una partición de . De la teoría de representación del grupo simétrico se sabe que la partición corresponde a una representación irreducible de . Sea el carácter de esta representación. El tensor simetrizado por se define como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \chi ^{\lambda }}$ ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dots \otimes v_{n}\in V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \chi ^{\lambda }}$

$${\displaystyle {\frac {\chi ^{\lambda }(e)}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi ^{\lambda }(\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (n)},}$$

donde es el elemento identidad de . El teorema de Gamas establece que el tensor simetrizado anterior no es cero si y solo si es posible particionar el conjunto de vectores en conjuntos linealmente independientes cuyos tamaños están en biyección con las longitudes de las columnas de la partición . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Véase también

• Combinatoria algebraica
• Inmanente
• Polinomio de Schur

Referencias

1. Carlos Gamas (1988). "Condiciones para que un tensor descomponible simetrizado sea cero". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 108 . Elsevier: 83–119. doi : 10.1016/0024-3795(88)90180-2 .
2. Thomas H. Pate (1990). "Tensores inmanentes y descomponibles que simetrizan a cero". Álgebra lineal y multilineal . 28 (3). Taylor & Francis: 175–184. doi :10.1080/03081089008818039.
3. Andrew Berget (2009). "Una breve demostración del teorema de Gamas". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 430 (2). Elsevier: 791–794. arXiv : 0906.4769 . doi :10.1016/j.laa.2008.09.027. S2CID  115172852.