Infinito nulo

Región límite de los espaciotiempos asintóticamente planos en la relatividad general

En física teórica , el infinito nulo es una región en el límite de los espaciotiempos asintóticamente planos . En la relatividad general , las trayectorias rectas en el espaciotiempo, llamadas geodésicas , pueden ser similares al espacio, similares al tiempo o similares a la luz (también llamadas nulas). La distinción entre estas trayectorias surge de si el intervalo de espaciotiempo de la trayectoria es positivo (que corresponde a similar al espacio), negativo (que corresponde a similar al tiempo) o cero (que corresponde a nulo). Las trayectorias similares a la luz corresponden físicamente a fenómenos físicos que se propagan a través del espacio a la velocidad de la luz , como la radiación electromagnética y la radiación gravitatoria . El límite de un espaciotiempo plano se conoce como infinito conforme, y puede considerarse como los puntos finales de todas las geodésicas a medida que se dirigen al infinito. ^[1] La región del infinito nulo corresponde al término de todas las geodésicas nulas en un espacio de Minkowski plano . Las diferentes regiones de infinito conforme se visualizan con mayor frecuencia en un diagrama de Penrose , donde forman el límite del diagrama. Hay dos regiones distintas de infinito nulo, llamadas infinito nulo pasado y futuro, que se pueden denotar utilizando una escritura ' I ' como y . Estas dos regiones a menudo se denominan 'scri-plus' y 'scri-minus' respectivamente. ^[2] Geométricamente, cada una de estas regiones en realidad tiene la estructura de una región tridimensional topológicamente cilíndrica. ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{-}}$

El estudio del infinito nulo se originó a partir de la necesidad de describir las propiedades globales del espacio-tiempo. Mientras que los primeros métodos de la relatividad general se centraban en la estructura local construida alrededor de marcos de referencia locales, el trabajo que comenzó en la década de 1960 comenzó a analizar descripciones globales de la relatividad general, analizando la estructura del espacio-tiempo en su conjunto. ^[3] El estudio original del infinito nulo se originó con el trabajo de Roger Penrose que analizaba los espacio-tiempos de los agujeros negros . ^[4] El infinito nulo es una herramienta matemática útil para analizar el comportamiento en espacios asintóticamente planos cuando se deben tomar límites de caminos nulos. Por ejemplo, los espacio-tiempos de los agujeros negros son asintóticamente planos, y el infinito nulo se puede utilizar para caracterizar la radiación en el límite en el que viaja hacia afuera alejándose del agujero negro. ^[5] El infinito nulo también se puede considerar en el contexto de los espacio-tiempos que no son necesariamente asintóticamente planos, como en la cosmología FLRW. ^[2]

Compactificación conforme en el espacio-tiempo de Minkowski

Diagrama de Penrose para el espacio-tiempo de Minkowski. La posición radial está en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. El infinito nulo es el límite diagonal del diagrama, designado con la letra "I".

La métrica para un espacio-tiempo plano de Minkowski en coordenadas esféricas es . La compactificación conforme induce una transformación que conserva los ángulos, pero cambia la estructura local de la métrica y añade el límite de la variedad, haciéndola así compacta. ^[6] Para una métrica dada , una compactificación conforme escala toda la métrica mediante algún factor conforme de modo que todos los puntos en el infinito se reducen a un valor finito. ^[3] Normalmente, las coordenadas radiales y temporales se transforman en coordenadas nulas y . Estas se transforman luego como y para utilizar las propiedades de la función tangente inversa para mapear el infinito a un valor finito. ^[2] Las coordenadas típicas de tiempo y espacio pueden introducirse como y . Después de estas transformaciones de coordenadas, se introduce un factor conforme, lo que conduce a una nueva métrica no física para el espacio de Minkowski: ^[7] ${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {\overline {g_{ij}}}=\Omega ^{2}g_{ij}}$ ${\displaystyle u=t+r}$ ${\displaystyle v=t-r}$ ${\displaystyle p=\tan ^{-1}u}$ ${\displaystyle q=\tan ^{-1}v}$ ${\displaystyle T=p+q}$ ${\displaystyle R=p-q}$

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dR^{2}+(\sin ^{2}R)d\Omega ^{2}}$.

Esta es la métrica en un diagrama de Penrose , ilustrada. A diferencia de la métrica original, esta métrica describe una variedad con un límite, dado por las restricciones en y . Hay dos superficies nulas en este límite, correspondientes al infinito nulo pasado y futuro. Específicamente, el infinito nulo futuro consiste en todos los puntos donde y , y el infinito nulo pasado consiste en todos los puntos donde y . ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=\pi -R}$ ${\displaystyle 0<R<\pi }$ ${\displaystyle T=R-\pi }$ ${\displaystyle 0<R<\pi }$

A partir de las restricciones de coordenadas, el infinito nulo es una superficie nula tridimensional, con una topología cilíndrica . ^{[1] [8]} ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{2}}$

La construcción que se da aquí es específica de la métrica plana del espacio de Minkowski. Sin embargo, dicha construcción se generaliza también a otros espacios asintóticamente planos. En tales escenarios, el infinito nulo todavía existe como una superficie nula tridimensional en el límite de la variedad espacio-temporal, pero la estructura general de la variedad puede ser diferente. Por ejemplo, en el espacio de Minkowski, todas las geodésicas nulas comienzan en el infinito nulo pasado y terminan en el infinito nulo futuro. Sin embargo, en el espacio-tiempo del agujero negro de Schwarzschild, el horizonte de sucesos del agujero negro conduce a dos posibilidades: las geodésicas pueden terminar en el infinito nulo, pero también pueden terminar en la singularidad futura del agujero negro. La presencia del infinito nulo (junto con las otras regiones del infinito conforme) garantiza la completitud geodésica en la variedad espacio-temporal, donde todas las geodésicas terminan en una singularidad verdadera o intersecan el límite del infinito. ^[7]

Otras aplicaciones físicas

Las simetrías del infinito nulo son característicamente diferentes de las de las regiones típicas del espacio-tiempo. Mientras que las simetrías de un espacio-tiempo plano de Minkowski están dadas por el grupo de Poincaré , las simetrías del infinito nulo están dadas por el grupo de Bondi-Metzner-Sachs (BMS) . ^{[9] [10]} El trabajo de Bondi , Metzner y Sachs caracterizó la radiación gravitacional utilizando análisis relacionados con el infinito nulo, mientras que trabajos anteriores como el marco ADM se ocuparon de caracterizaciones del infinito espacial. ^[8] En los últimos años, ha crecido el interés en estudiar los gravitones en el límite del infinito nulo. ^{[8] [11]} Utilizando el grupo BMS, los cuantos en el infinito nulo pueden caracterizarse como partículas sin masa de espín 2 , en consonancia con los cuantos de la relatividad general que son gravitones. ^[8]

Referencias

1. Hawking, SW ; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511524646. ISBN 978-0-521-09906-6.
2. Carroll, Sean M. (2019). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general. Cambridge University Press. Bibcode :2019sgai.book.....C. doi :10.1017/9781108770385. ISBN 9781108488396. S2CID  126323605 . Consultado el 8 de mayo de 2023 .
3. Misner, CW ; Thorne, KS ; Wheeler, JA ; Chandrasekhar, S. (1 de agosto de 1974). " Gravitación ". Física Hoy . 27 (8): 47–48. Bibcode :1974PhT....27h..47M. doi :10.1063/1.3128805. ISSN  0031-9228.
4. Penrose, Roger (18 de enero de 1965). "Colapso gravitacional y singularidades espacio-temporales". Physical Review Letters . 14 (3): 57–59. Código Bibliográfico :1965PhRvL..14...57P. doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
5. Lehner, Luis (diciembre de 1998). Radiación gravitacional desde el espacio-tiempo de agujeros negros (tesis doctoral). Universidad de Pittsburgh. Bibcode :1998PhDT.........6L.
6. Stewart, John (1991). Relatividad general avanzada. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511608179. ISBN 978-0-521-44946-5.
7. D'Inverno, RA (1992). Introducción a la relatividad de Einstein (1.ª ed.). Clarendon Press. ISBN 978-0198596868.
8. Ashtekar, Abhay (2015). "Geometría y física del infinito nulo". Encuestas en geometría diferencial . 20 (1): 99–122. arXiv : 1409.1800 . doi :10.4310/SDG.2015.v20.n1.a5. ISSN  2164-4713. S2CID  54611087.
9. Bondi, H. ; Van der Burg, MGJ; Metzner, A. (21 de agosto de 1962). "Ondas gravitacionales en la relatividad general, VII. Ondas de un sistema aislado axisimétrico". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 269 (1336): 21–52. Bibcode :1962RSPSA.269...21B. doi :10.1098/rspa.1962.0161. ISSN  0080-4630. S2CID  120125096.
10. Dray, T; Streubel, M (11 de enero de 1984). "Momento angular en el infinito nulo". Gravedad clásica y cuántica . 1 (1): 15–26. Bibcode :1984CQGra...1...15D. doi :10.1088/0264-9381/1/1/005. ISSN  0264-9381. S2CID  250751212.
11. Adamo, Tim; Casali, Eduardo; Skinner, David (15 de abril de 2014). "Cuerdas de Ambitwistor y ecuaciones de dispersión en un bucle". Journal of High Energy Physics . 2014 (4): 104. arXiv : 1312.3828 . Bibcode :2014JHEP...04..104A. doi :10.1007/JHEP04(2014)104. ISSN  1029-8479. S2CID  119194796.