Inestabilidad de los jeans

Mecanismo por el cual el colapso de las nubes de gas interestelar provoca la formación de estrellas

La inestabilidad de Jeans es un concepto en astrofísica que describe una inestabilidad que conduce al colapso gravitacional de una nube de gas o polvo. ^[1] Provoca el colapso de las nubes de gas interestelar y la posterior formación de estrellas . Ocurre cuando la presión interna del gas no es lo suficientemente fuerte como para evitar el colapso gravitacional de una región llena de materia. ^[2] Lleva el nombre de James Jeans .

Para la estabilidad, la nube debe estar en equilibrio hidrostático , lo que en el caso de una nube esférica se traduce en

$${\displaystyle {\frac {dp}{dr}}=-{\frac {G\rho (r)M_{\text{enc}}(r)}{r^{2}}},}$$

constante gravitacional^[3] ${\textstyle M_{\text{enc}}(r)}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \rho (r)}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle r}$

La inestabilidad de Jeans probablemente determina cuándo se produce la formación de estrellas en las nubes moleculares .

Historia

En 1720, Edmund Halley consideró un universo sin bordes y se preguntó qué pasaría si el "sistema del mundo", que existe dentro del universo, fuera finito o infinito. En el caso finito, las estrellas gravitarían hacia el centro, y si fuera infinito, todas las estrellas estarían casi en equilibrio y eventualmente llegarían a un lugar de descanso. ^[4] Contrariamente a lo escrito por Halley, Isaac Newton , en una carta de 1692/3 a Richard Bentley , escribió que es difícil imaginar que las partículas en un espacio infinito puedan permanecer en tal configuración para dar como resultado un equilibrio perfecto. . ^{[5] [6]}

James Jeans amplió la cuestión de la estabilidad gravitacional para incluir la presión. En 1902, Jeans escribió, al igual que Halley, que una distribución finita de materia, suponiendo que la presión no lo impida, colapsará gravitacionalmente hacia su centro. Para una distribución infinita de la materia, existen dos escenarios posibles. Una distribución exactamente homogénea no tiene un centro de masa claro ni una forma clara de definir una dirección de aceleración gravitacional. En el otro caso, Jeans amplía lo que escribió Newton: Jeans demostró que pequeñas desviaciones de la homogeneidad exacta conducen a inestabilidades. ^[7]

Masa de jeans

La masa de Jeans lleva el nombre del físico británico Sir James Jeans , quien consideró el proceso de colapso gravitacional dentro de una nube gaseosa. Pudo demostrar que, en condiciones apropiadas, una nube, o parte de ella, se volvería inestable y comenzaría a colapsar cuando careciera de suficiente presión gaseosa para equilibrar la fuerza de gravedad . La nube es estable para una masa suficientemente pequeña (a una temperatura y un radio determinados), pero una vez que se excede esta masa crítica, comenzará un proceso de contracción galopante hasta que alguna otra fuerza pueda impedir el colapso. Derivó una fórmula para calcular esta masa crítica en función de su densidad y temperatura . Cuanto mayor sea la masa de la nube, cuanto mayor sea su tamaño y cuanto más fría sea su temperatura, menos estable será frente al colapso gravitacional.

El valor aproximado de la masa de los jeans se puede derivar mediante un simple argumento físico. Se comienza con una región gaseosa esférica de radio , masa y con una velocidad del sonido gaseoso . El gas se comprime ligeramente y tarda un tiempo. ${\textstyle R}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle c_{s}}$

$${\displaystyle t_{\text{sound}}={\frac {R}{c_{s}}}\approx 0.5{\text{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\text{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{-1}}$$

tiempo de caída libre.

$${\displaystyle t_{\text{ff}}={\frac {1}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\text{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}},}$$

densidad del número de ${\textstyle G}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle n=\rho /\mu }$3,9 × 10 ⁻²⁴  gcolapso gravitacional

$${\displaystyle t_{\text{ff}}<t_{\text{sound}}.}$$

La longitud resultante de los jeans es de aproximadamente ${\textstyle \lambda _{\text{J}}}$

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {c_{s}}{(G\rho )^{\frac {1}{2}}}}\approx 0.4{\text{ pc}}\cdot {\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}$$

Esta escala de longitud se conoce como longitud de jeans. Todas las escalas mayores que la longitud de Jeans son inestables al colapso gravitacional, mientras que las escalas más pequeñas son estables. La masa de Jeans es simplemente la masa contenida en una esfera de radio ( es la mitad de la longitud de Jeans): ${\textstyle M_{\text{J}}}$ ${\textstyle R_{\text{J}}}$ ${\textstyle R_{\text{J}}={\frac {1}{2}}\lambda _{\text{J}}}$

$${\displaystyle M_{\text{J}}={\frac {4\pi }{3}}\rho R_{\text{J}}^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{s}^{3}}{G^{\frac {3}{2}}\rho ^{\frac {1}{2}}}}\approx 2{\text{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{s}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}$$

La "estafa de los jeans"

^{Posteriormente, otros astrofísicos, incluidos Binney y Tremaine [8]} , señalaron que el análisis original utilizado por Jeans era defectuoso: en su análisis formal, aunque Jeans supuso que la región en colapso de la nube estaba rodeada por un medio infinito y estático, el La influencia de este medio estático fue completamente ignorada en el análisis de Jeans. Este defecto se conoce como la "estafa de los jeans". ^[9]

Sorprendentemente, cuando se utiliza un análisis más cuidadoso teniendo en cuenta otros factores como la expansión del Universo, se anula fortuitamente el error aparente en el análisis de Jeans, y la ecuación de Jeans es correcta, incluso si su derivación podría haber sido dudosa. ^{[9] [10]}

Derivación basada en energía

Se puede encontrar una derivación alternativa, posiblemente incluso más simple, utilizando consideraciones energéticas. En la nube interestelar actúan dos fuerzas opuestas. La presión del gas, provocada por el movimiento térmico de los átomos o moléculas que componen la nube, intenta hacer que la nube se expanda, mientras que la gravitación intenta hacer que la nube colapse. La masa de Jeans es la masa crítica donde ambas fuerzas están en equilibrio entre sí. En la siguiente derivación se ignorarán las constantes numéricas (como π) y las constantes de la naturaleza (como la constante gravitacional). Se reintroducirán en el resultado.

Considere una nube de gas esférica homogénea con radio R. Para comprimir esta esfera a un radio R – dR , se debe realizar trabajo contra la presión del gas. Durante la compresión se libera energía gravitacional . Cuando esta energía es igual a la cantidad de trabajo a realizar sobre el gas, se alcanza la masa crítica. Sea M la masa de la nube, T la temperatura (absoluta), n la densidad de las partículas y p la presión del gas. El trabajo a realizar es igual a p d V . Utilizando la ley de los gases ideales, según la cual p = nT , se llega a la siguiente expresión para el trabajo:

$${\displaystyle dW=nTR^{2}\,dR.}$$

La energía potencial gravitacional de una esfera de masa M y radio R viene, aparte de constantes, dada por la siguiente expresión:

$${\displaystyle U={\frac {M^{2}}{R}}.}$$

La cantidad de energía liberada cuando la esfera se contrae desde el radio R hasta el radio R – dR se obtiene derivando esta expresión a R , entonces

$${\displaystyle dU={\frac {M^{2}}{R^{2}}}\,dR.}$$

La masa crítica se alcanza tan pronto como la energía gravitacional liberada es igual al trabajo realizado sobre el gas:

$${\displaystyle {\frac {M^{2}}{R^{2}}}=nTR^{2}.}$$

A continuación, el radio R debe expresarse en términos de la densidad de partícula n y la masa M. Esto se puede hacer usando la relación

$${\displaystyle M=nR^{3}.}$$

Un poco de álgebra lleva a la siguiente expresión para la masa crítica:

$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Si durante la derivación se toman todas las constantes, la expresión resultante es

$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {375k^{3}}{4\pi m^{4}G^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}},}$$

kGm

$${\displaystyle M_{\text{J}}=3\times 10^{4}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Longitud de los pantalones vaqueros

La longitud de los pantalones vaqueros es el radio crítico de una nube (típicamente una nube de gas y polvo molecular interestelar) donde la energía térmica, que hace que la nube se expanda, es contrarrestada por la gravedad, que hace que la nube colapse. Lleva el nombre del astrónomo británico Sir James Jeans , quien se preocupó por la estabilidad de las nebulosas esféricas a principios del siglo XX. ^[7]

La fórmula para el largo de los jeans es:

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}=\left({\frac {15k_{\text{B}}T}{4\pi G\mu \rho }}\right)^{\frac {1}{2}},}$$

la constante de Boltzmannconstante gravitacional^{[11] [12]} ${\textstyle k_{\text{B}}}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle \rho }$

Quizás la forma más fácil de conceptualizar el largo de los jeans es en términos de una aproximación cercana, en la que descartamos los factores y en la que reformulamos como . La fórmula para el largo de los jeans queda entonces: ${\textstyle 15}$ ${\textstyle 4\pi }$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle M/r^{3}}$

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}\approx \left({\frac {k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

${\textstyle r}$

Se deduce inmediatamente que cuando ; es decir, el radio de la nube es la longitud de los jeans cuando la energía térmica por partícula es igual al trabajo gravitacional por partícula. En esta longitud crítica, la nube no se expande ni se contrae. Sólo cuando la energía térmica no es igual al trabajo gravitacional, la nube se expande y enfría o se contrae y calienta, un proceso que continúa hasta que se alcanza el equilibrio. ${\textstyle \lambda _{\text{J}}=r}$ ${\textstyle k_{\text{B}}T=GM\mu /r}$

Longitud de los jeans como longitud de onda de oscilación

La longitud de Jeans es la longitud de onda de oscilación (respectivamente, el número de onda de Jeans , ) por debajo de la cual se producirán oscilaciones estables en lugar de colapso gravitacional. ${\textstyle k_{\text{J}}}$

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {2\pi }{k_{\text{J}}}}=c_{\text{s}}\left({\frac {\pi }{G\rho }}\right)^{\frac {1}{2}},}$$

Gconstante gravitacionalvelocidad del sonido ${\textstyle c_{\text{s}}}$ ${\textstyle \rho }$

También es la distancia que recorrería una onda sonora en el momento del colapso.

Fragmentación

La inestabilidad de los jeans también puede dar lugar a fragmentación en determinadas condiciones. Para derivar la condición de fragmentación se supone un proceso adiabático en un gas ideal y también se toma una ecuación de estado politrópica. La derivación se muestra a continuación mediante un análisis dimensional:

Para procesos adiabáticos , ${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\rightarrow V\propto P^{-{\frac {1}{\gamma }}}.}$

Para un gas ideal , ${\displaystyle PV=nRT\Rightarrow P\cdot P^{-{\frac {1}{\gamma }}}=P^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\propto T\Rightarrow P\propto T^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}.}$

Ecuación de estado politrópica , ${\displaystyle P=K\rho ^{\gamma }\rightarrow T\propto \rho ^{\gamma -1}.}$

Masa de jeans, ${\displaystyle M_{\text{J}}\propto T^{\frac {3}{2}}\rho ^{-{\frac {1}{2}}}\propto \rho ^{{\frac {3}{2}}(\gamma -1)}\rho ^{-{\frac {1}{2}}}.}$

De este modo, ${\displaystyle M_{\text{J}}\propto \rho ^{{\frac {3}{2}}\left(\gamma -{\frac {4}{3}}\right)}.}$

Si el índice adiabático , la masa de los jeans aumenta al aumentar la densidad, mientras que si la masa de los jeans disminuye al aumentar la densidad. Durante el colapso gravitacional, la densidad siempre aumenta, ^[13] por lo tanto, en el segundo caso, la masa de Jeans disminuirá durante el colapso, permitiendo que colapsen regiones sobredensadas más pequeñas, lo que lleva a la fragmentación de la nube molecular gigante. Para un gas monoatómico ideal, el índice adiabático es 5/3. Sin embargo, en los objetos astrofísicos este valor suele ser cercano a 1 (por ejemplo, en gases parcialmente ionizados a temperaturas bajas en comparación con la energía de ionización). ^[14] En términos más generales, el proceso no es realmente adiabático, sino que implica un enfriamiento mediante radiación mucho más rápida que la contracción, de modo que el proceso puede modelarse mediante un índice adiabático tan bajo como 1 (que corresponde al índice politrópico de una estación isotérmica). gas). ^{[ cita necesaria ]} Entonces, el segundo caso es la regla y no una excepción en las estrellas. Ésta es la razón por la que las estrellas suelen formarse en cúmulos. ${\textstyle \gamma >{\frac {4}{3}}}$ ${\textstyle \gamma <{\frac {4}{3}}}$

Ver también

• Misa de Bonnor-Ebert
• Ondas de Langmuir (ondas similares en un plasma)

Referencias

1. "Inestabilidad de los jeans". Referencia de Oxford . Consultado el 5 de enero de 2024 .
2. Bonnor, WB (1957). "1957MNRAS.117..104B Página 104". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 117 : 104. Código bibliográfico : 1957MNRAS.117..104B. doi :10.1093/mnras/117.1.104 . Consultado el 5 de enero de 2024 .
3. "El criterio del colapso de los jeans". csep10.phys.utk.edu . Consultado el 5 de enero de 2024 .
4. Halley, Edmundo (1720-1721). "Del infinito de la esfera de estrellas fijas. Por Edmund Halley, LLDRSS" Transacciones filosóficas (1683-1775) . 31 : 22-24. ISSN  0260-7085. JSTOR  103379.
5. Newton, Isaac. "Carta original de Isaac Newton a Richard Bentley, fechada el 17 de enero de 1692/3 (diplomática)". www.newtonproject.ox.ac.uk . Consultado el 11 de noviembre de 2023 .
6. Peebles, PJE (2022). El siglo de la cosmología: una historia interna de nuestra comprensión moderna del universo . Princeton Oxford: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691196022.
7. Jeans, JH (1902). "La estabilidad de una nebulosa esférica". Transacciones filosóficas de la Royal Society A. 199 (312–320): 1–53. Código Bib : 1902RSPTA.199....1J. doi : 10.1098/rsta.1902.0012 . JSTOR  90845.
8. Binney, James (2008). Dinámica galáctica. Scott Tremaine (2ª ed.). Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-13026-2. OCLC  195749071.
9. Ershkovich, AI (29 de agosto de 2011). "La" estafa de los vaqueros ": ¿el fin de un mito?". arXiv : 1108.5519 [astro-ph.GA].
10. Falcó, M.; Hansen, SH; Wojtak, R.; Mamon, GA (1 de mayo de 2013). "¿Por qué funciona Jeans Swindle?". Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society: cartas . 431 (1): L6-L9. arXiv : 1210.3363 . doi :10.1093/mnrasl/sls051. ISSN  1745-3933.
11. LeBlanc, Francisco (2010). Una introducción a la astrofísica estelar. Chichester, West Sussex, Reino Unido: Wiley. págs. 46–47. ISBN 978-0-470-69957-7. OCLC  475440765.
12. "Longitud de los jeans: del mundo de la física de Eric Weisstein".
13. Abbasi, Amir (2018). "Efecto de la fuerza de polarización sobre la inestabilidad de los pantalones vaqueros en plasmas polvorientos de colisión". Ciencia y tecnología del plasma . 20 (3): 035301. Código bibliográfico : 2018PlST...20c5301A. doi :10.1088/2058-6272/aa96fa. S2CID  103819409.
14. [Notas de conferencias de Glatzmaier GA, Universidad de California, Santa Cruz, https://websites.pmc.ucsc.edu/~glatz/astr_112/lectures/notes6.pdf]

• Vaqueros, JH (1902). "La estabilidad de una nebulosa esférica". Transacciones filosóficas de la Royal Society A. 199 (312–320): 1–53. Código Bib : 1902RSPTA.199....1J. doi : 10.1098/rsta.1902.0012 . JSTOR  90845.
• Longair, Malcolm S. (1998). Formación de galaxias . Berlín: Springer. ISBN 3-540-63785-0.
• Clarke, Cathie; Carswell, Bob (2007). Dinámica de fluidos astrofísicos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-85331-6.