Indeterminación cuántica

Aparente falta de estado definido antes de la medición de sistemas cuánticos

La indeterminación cuántica es la aparente falta de completitud necesaria en la descripción de un sistema físico , que se ha convertido en una de las características de la descripción estándar de la física cuántica . Antes de la física cuántica, se pensaba que

1. un sistema físico tenía un estado determinado que determinaba de forma única todos los valores de sus propiedades mensurables, y
2. por el contrario , los valores de sus propiedades mensurables determinaban de forma única el estado.

La indeterminación cuántica se puede caracterizar cuantitativamente mediante una distribución de probabilidad en el conjunto de resultados de las mediciones de un observable . La distribución está determinada únicamente por el estado del sistema y, además, la mecánica cuántica proporciona una receta para calcular esta distribución de probabilidad.

La indeterminación en la medición no fue una innovación de la mecánica cuántica, ya que los experimentalistas habían establecido desde el principio que los errores en la medición pueden conducir a resultados indeterminados. En la segunda mitad del siglo XVIII, los errores de medición se entendían bien y se sabía que podían reducirse con mejores equipos o explicarse mediante modelos de error estadístico. En la mecánica cuántica, sin embargo, la indeterminación es de una naturaleza mucho más fundamental y no tiene nada que ver con errores o perturbaciones.

Medición

Una explicación adecuada de la indeterminación cuántica requiere una teoría de la medición. Se han propuesto muchas teorías desde los inicios de la mecánica cuántica y la medición cuántica sigue siendo un área de investigación activa tanto en la física teórica como en la experimental. ^[1] Posiblemente el primer intento sistemático de una teoría matemática fue desarrollado por John von Neumann . Los tipos de medidas que investigó ahora se denominan medidas proyectivas. Esa teoría se basaba a su vez en la teoría de medidas de valores de proyección para operadores autoadjuntos que había sido desarrollada recientemente (por von Neumann e independientemente por Marshall Stone ) y en la formulación espacial de Hilbert de la mecánica cuántica (atribuida por von Neumann a Paul Dirac). ).

En esta formulación, el estado de un sistema físico corresponde a un vector de longitud 1 en un espacio de Hilbert H sobre los números complejos . Un observable está representado por un operador A autoadjunto (es decir, hermitiano ) en H. Si H es de dimensión finita , según el teorema espectral , A tiene una base ortonormal de vectores propios . Si el sistema está en el estado ψ, inmediatamente después de la medición, el sistema ocupará un estado que es un vector propio e de A y el valor observado λ será el valor propio correspondiente de la ecuación A e = λ e . De esto se desprende inmediatamente que la medición en general será no determinista. Además, la mecánica cuántica proporciona una receta para calcular una distribución de probabilidad Pr sobre los posibles resultados dado que el estado inicial del sistema es ψ . La probabilidad es

$${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle }$$

EλAλ

Ejemplo

Esfera de Bloch que muestra vectores propios para matrices de Pauli Spin. La esfera de Bloch es una superficie bidimensional cuyos puntos corresponden al espacio de estados de una partícula de espín 1/2. En el estado ψ los valores de σ ₁ son +1 mientras que los valores de σ ₂ y σ ₃ toman los valores +1, −1 con probabilidad 1/2.

En este ejemplo, consideramos una partícula de 1/2 espín único (como un electrón) en la que solo consideramos el grado de libertad del espín. El espacio de Hilbert correspondiente es el espacio de Hilbert complejo bidimensional C ² , donde cada estado cuántico corresponde a un vector unitario en C ² (único hasta la fase). En este caso, el espacio de estados se puede representar geométricamente como la superficie de una esfera, como se muestra en la figura de la derecha.

Las matrices de espín de Pauli

$${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

autoadjuntos

Todas las matrices de Pauli tienen valores propios +1, −1.

• Para σ ₁ , estos valores propios corresponden a los vectores propios
  $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)}$$
• Para σ ₃ , corresponden a los vectores propios
  $${\displaystyle (1,0),(0,1)}$$

Así en el estado

$${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),}$$

₁₃₁₃

Hay varias preguntas que pueden plantearse sobre la afirmación de indeterminación anterior.

1. ¿Se puede interpretar la aparente indeterminación como determinista, pero dependiente de cantidades no modeladas en la teoría actual, que por lo tanto sería incompleta? Más precisamente, ¿existen variables ocultas que podrían explicar la indeterminación estadística de una manera completamente clásica?
2. ¿Se puede entender la indeterminación como una perturbación del sistema que se está midiendo?

Von Neumann formuló la pregunta 1) y proporcionó un argumento de por qué la respuesta tenía que ser no, si se aceptaba el formalismo que proponía. Sin embargo, según Bell, la prueba formal de von Neumann no justificaba su conclusión informal. ^[2] Se ha establecido experimentalmente una respuesta negativa definitiva pero parcial a 1): debido a que se violan las desigualdades de Bell , cualquiera de estas variables ocultas no puede ser local (consulte los experimentos de prueba de Bell ).

La respuesta a 2) depende de cómo se entiende la perturbación, particularmente porque la medición implica perturbación (sin embargo, tenga en cuenta que este es el efecto del observador , que es distinto del principio de incertidumbre). Aún así, en la interpretación más natural la respuesta también es no. Para ver esto, considere dos secuencias de mediciones: (A) que mide exclusivamente σ ₁ y (B) que mide solo σ ₃ de un sistema de espín en el estado ψ . Los resultados de las mediciones de (A) son todos +1, mientras que la distribución estadística de las mediciones (B) todavía se divide entre +1, −1 con igual probabilidad.

Otros ejemplos de indeterminación

La indeterminación cuántica también puede ilustrarse en términos de una partícula con un momento definitivamente medido para el cual debe haber un límite fundamental en cuanto a la precisión con la que se puede especificar su ubicación. Este principio de incertidumbre cuántica se puede expresar en términos de otras variables; por ejemplo, una partícula con una energía definitivamente medida tiene un límite fundamental en cuanto a la precisión con la que se puede especificar durante cuánto tiempo tendrá esa energía. Las unidades involucradas en la incertidumbre cuántica son del orden de la constante de Planck (definida como6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ^{−1 [3]} ).

Indeterminación e incompletud

La indeterminación cuántica es la afirmación de que el estado de un sistema no determina una colección única de valores para todas sus propiedades mensurables. En efecto, según el teorema de Kochen-Specker , en el formalismo mecánico cuántico es imposible que, para un estado cuántico dado, cada una de estas propiedades medibles ( observables ) tenga un valor determinado (nítido). Los valores de un observable se obtendrán de forma no determinista de acuerdo con una distribución de probabilidad determinada únicamente por el estado del sistema. Tenga en cuenta que el estado se destruye con la medición, por lo que cuando nos referimos a una colección de valores, cada valor medido en esta colección debe obtenerse utilizando un estado recién preparado.

Esta indeterminación podría considerarse como una especie de falta de plenitud esencial en nuestra descripción de un sistema físico. Tenga en cuenta, sin embargo, que la indeterminación mencionada anteriormente solo se aplica a los valores de las mediciones, no al estado cuántico. Por ejemplo, en el ejemplo de espín 1/2 discutido anteriormente, el sistema se puede preparar en el estado ψ usando la medición de σ ₁ como un filtro que retiene solo aquellas partículas tales que σ ₁ produce +1. Según los (llamados) postulados de von Neumann, inmediatamente después de la medición el sistema se encuentra seguramente en el estado ψ.

Sin embargo, Einstein creía que el estado cuántico no puede ser una descripción completa de un sistema físico y, como se piensa comúnmente, nunca llegó a un acuerdo con la mecánica cuántica. De hecho, Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen demostraron que si la mecánica cuántica es correcta, entonces la visión clásica de cómo funciona el mundo real (al menos después de la relatividad especial) ya no es sostenible. Esta visión incluía las dos ideas siguientes:

1. Una propiedad mensurable de un sistema físico cuyo valor puede predecirse con certeza es en realidad un elemento de la realidad (local) (ésta era la terminología utilizada por EPR ).
2. Los efectos de las acciones locales tienen una velocidad de propagación finita.

Este fracaso de la visión clásica fue una de las conclusiones del experimento mental EPR en el que dos observadores ubicados remotamente , ahora comúnmente conocidos como Alice y Bob , realizan mediciones independientes del espín de un par de electrones, preparados en una fuente en un especial. estado llamado estado singlete de espín . Fue una conclusión de EPR, utilizando el aparato formal de la teoría cuántica, que una vez que Alice midió el espín en la dirección x , la medición de Bob en la dirección x se determinó con certeza, mientras que inmediatamente antes de la medición de Alice el resultado de Bob sólo se determinó estadísticamente. De esto se deduce que cualquiera de los valores del espín en la dirección x no es un elemento de la realidad o que el efecto de la medición de Alice tiene una velocidad de propagación infinita.

Indeterminación para estados mixtos

Hemos descrito la indeterminación para un sistema cuántico que se encuentra en estado puro . Los estados mixtos son un tipo más general de estado obtenido mediante una mezcla estadística de estados puros. Para estados mixtos, la "receta cuántica" para determinar la distribución de probabilidad de una medición se determina de la siguiente manera:

Sea A un observable de un sistema mecánico cuántico. A está dado por un operador autoadjunto densamente definido en H. La medida espectral de A es una medida valorada en proyección definida por la condición

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),}$

para cada subconjunto de Borel U de R . Dado un estado mixto S , introducimos la distribución de A bajo S de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Esta es una medida de probabilidad definida en los subconjuntos de Borel de R , que es la distribución de probabilidad obtenida midiendo A en S.

Independencia lógica y aleatoriedad cuántica.

La indeterminación cuántica a menudo se entiende como información (o falta de ella) cuya existencia inferimos, que ocurre en sistemas cuánticos individuales, antes de la medición. La aleatoriedad cuántica es la manifestación estadística de esa indeterminación, testimoniada en los resultados de experimentos repetidos muchas veces. Sin embargo, la relación entre la indeterminación cuántica y la aleatoriedad es sutil y puede considerarse de otra manera. ^[4]

En la física clásica, los experimentos de azar, como el lanzamiento de monedas y dados, son deterministas, en el sentido de que un conocimiento perfecto de las condiciones iniciales haría que los resultados fueran perfectamente predecibles. La "aleatoriedad" surge de la ignorancia de la información física en el lanzamiento inicial. En diametral contraste, en el caso de la física cuántica , los teoremas de Kochen y Specker, ^[5] las desigualdades de John Bell, ^[6] y la evidencia experimental de Alain Aspect , ^{[7] [8]} indican que la aleatoriedad cuántica no derivan de dicha información física .

En 2008, Tomasz Paterek et al. proporcionó una explicación en información matemática . Demostraron que la aleatoriedad cuántica es, exclusivamente, el resultado de experimentos de medición cuyas configuraciones de entrada introducen independencia lógica en los sistemas cuánticos. ^{[9] [10]}

La independencia lógica es un fenómeno bien conocido en Lógica Matemática . Se refiere a la nula conectividad lógica que existe entre proposiciones matemáticas (en un mismo lenguaje) que ni se prueban ni se refutan entre sí. ^[11]

En el trabajo de Paterek et al., los investigadores demuestran un vínculo que conecta la aleatoriedad cuántica y la independencia lógica en un sistema formal de proposiciones booleanas. En experimentos que miden la polarización de fotones, Paterek et al. demostrar estadísticas que correlacionen resultados predecibles con proposiciones matemáticas lógicamente dependientes y resultados aleatorios con proposiciones que son lógicamente independientes. ^{[12] [13]}

En 2020, Steve Faulkner informó sobre el trabajo de seguimiento de los hallazgos de Tomasz Paterek et al.; mostrando lo que significa independencia lógica en las proposiciones booleanas de Paterek, en el dominio de la Mecánica Matricial propiamente dicha. Mostró cómo la indefinición de la indeterminación surge en operadores de densidad evolucionados que representan estados mixtos, donde los procesos de medición encuentran una "historia perdida" irreversible y una invasión de ambigüedad. ^[14]

Ver también

• Portal de física

• Complementariedad (física)
• Definitividad contrafactual
• Paradoja del EPR
• Interpretaciones de la mecánica cuántica : cuadro comparativo
• Contextualidad cuántica
• Entrelazamiento cuántico
• Medición cuántica
• Mecánica cuántica
• Principio de incertidumbre

Notas

1. V. Braginski y F. Khalili, Medidas cuánticas , Cambridge University Press, 1992.
2. JS Bell, Decible e indescriptible en mecánica cuántica , Cambridge University Press, 2004, pág. 5.
3. "Valor CODATA 2018: constante de Planck". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 28 de abril de 2021 .
4. Gregg Jaeger, "Aleatoriedad cuántica e imprevisibilidad" Transacciones filosóficas de la Royal Society of London A doi/10.1002/prop.201600053 (2016)|Online=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/prop.201600053/ PDF PDF
5. S Kochen y EP Specker, El problema de las variables ocultas en la mecánica cuántica , Journal of Mathematics and Mechanics 17 (1967), 59–87.
6. John Bell, Sobre la paradoja de Einstein Podolsky Rosen , Física 1 (1964), 195-200.
7. Alain Aspect, Jean Dalibard y Gérard Roger, Prueba experimental de las desigualdades de Bell utilizando analizadores variables en el tiempo , Physical Revue Letters 49 (1982), no. 25, 1804–1807.
8. Alain Aspect, Philippe Grangier y Gérard Roger, Realización experimental del experimento gedanken de Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm: una nueva violación de las desigualdades de Bell , Physical Review Letters 49 (1982), no. 2, 91–94.
9. Tomasz Paterek, Johannes Kofler, Robert Prevedel, Peter Klimek, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger y Caslav Brukner, "Independencia lógica y aleatoriedad cuántica", New Journal of Physics 12 (2010), no. 013019, 1367–2630.
10. Tomasz Paterek, Johannes Kofler, Robert Prevedel, Peter Klimek, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger y Caslav Brukner, "Independencia lógica y aleatoriedad cuántica: con datos experimentales", https://arxiv.org/pdf/0811.4542.pdf (2010 ).
11. Edward Russell Stabler, Una introducción al pensamiento matemático , Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading Massachusetts EE. UU., 1948.
12. Tomasz Paterek, Johannes Kofler, Robert Prevedel, Peter Klimek, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger y Caslav Brukner, "Independencia lógica y aleatoriedad cuántica", New Journal of Physics 12 (2010), no. 013019, 1367–2630.
13. Tomasz Paterek, Johannes Kofler, Robert Prevedel, Peter Klimek, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger y Caslav Brukner, "Independencia lógica y aleatoriedad cuántica: con datos experimentales", https://arxiv.org/pdf/0811.4542.pdf (2010 ).
14. Steve Faulkner, La maquinaria subyacente de la indeterminación cuántica (2020). [1]

Referencias

• A. Aspect, test de desigualdad de Bell: más ideal que nunca , Nature 398 189 (1999). [2]
• G. Bergmann, The Logic of Quanta , American Journal of Physics, 1947. Reimpreso en Readings in the Philosophy of Science, Ed. H. Feigl y M. Brodbeck, Appleton-Century-Crofts, 1953. Analiza la medición, la precisión y el determinismo.
• JS Bell, Sobre la paradoja de Einstein-Poldolsky-Rosen , Física 1 195 (1964).
• A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, ¿Se puede considerar completa la descripción mecánico-cuántica de la realidad física? Física. Rev. 47 777 (1935). [3] Archivado el 8 de febrero de 2006 en Wayback Machine.
• G. Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , WA Benjamin, 1963 (reimpresión en rústica de Dover 2004).
• J. von Neumann, Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Princeton University Press, 1955. Reimpreso en edición de bolsillo. Publicado originalmente en alemán en 1932.
• R. Omnès, Comprensión de la mecánica cuántica , Princeton University Press, 1999.

enlaces externos

• Conceptos erróneos comunes sobre la mecánica cuántica Véase especialmente la parte III "Conceptos erróneos sobre la medición".