En álgebra abstracta , un módulo es indescomponible si es distinto de cero y no se puede escribir como una suma directa de dos submódulos distintos de cero . [1] [2]
Indecomposable es una noción más débil que módulo simple (que a veces también se llama módulo irreducible ): simple significa "sin submódulo adecuado" N < M , mientras que indecomposable "no expresable como N ⊕ P = M ".
Una suma directa de indecomponibles se llama completamente descomponible ; [ cita necesaria ] esto es más débil que ser semisimple , que es una suma directa de módulos simples .
Una descomposición por suma directa de un módulo en módulos indescomponibles se denomina descomposición indescomponible .
En muchas situaciones, todos los módulos de interés son completamente descomponibles; Los módulos indescomponibles pueden considerarse entonces como los "bloques de construcción básicos", los únicos objetos que deben estudiarse. Este es el caso de los módulos sobre un campo o PID , y es la base de la forma normal de operadores de Jordan .
Los módulos sobre campos son espacios vectoriales . [3] Un espacio vectorial es indescomponible si y sólo si su dimensión es 1. Entonces, todo espacio vectorial es completamente descomponible (de hecho, semisimple), con infinitos sumandos si la dimensión es infinita. [4]
Los módulos generados finitamente sobre dominios ideales principales (PID) se clasifican mediante el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal : la descomposición primaria es una descomposición en módulos indescomponibles, por lo que cada módulo generado finitamente sobre un PID es completamente descomponible.
Explícitamente, los módulos de la forma R / p n para ideales primos p (incluido p = 0 , que produce R ) son indescomponibles. Cada módulo R generado finitamente es una suma directa de estos. Tenga en cuenta que esto es simple si y sólo si n = 1 (o p = 0 ); por ejemplo, el grupo cíclico de orden 4, Z /4, es indescomponible pero no simple: tiene el subgrupo 2 Z /4 de orden 2, pero éste no tiene complemento.
Sobre los números enteros Z , los módulos son grupos abelianos . Un grupo abeliano generado finitamente es indescomponible si y sólo si es isomorfo a Z o a un grupo de factores de la forma Z / p n Z para algún número primo p y algún entero positivo n . Cada grupo abeliano generado finitamente es una suma directa de (un número finito) de grupos abelianos indescomponibles.
Sin embargo, existen otros grupos abelianos indescomponibles que no se generan de forma finita; ejemplos son los números racionales Q y los grupos p de Prüfer Z ( p ∞ ) para cualquier número primo p .
Para un entero positivo fijo n , considere el anillo R de matrices de n por n con entradas de números reales (o de cualquier otro campo K ). Entonces K n es un módulo R izquierdo (la multiplicación escalar es una multiplicación de matrices ). Esto depende del isomorfismo , el único módulo indescomponible sobre R . Cada módulo R izquierdo es una suma directa de (finitas o infinitas) copias de este módulo K n .
Cada módulo simple es indescomponible. Lo contrario no es cierto en general, como lo muestra el segundo ejemplo anterior.
Al observar el anillo de endomorfismo de un módulo, se puede saber si el módulo es indescomponible: si y sólo si el anillo de endomorfismo no contiene un elemento idempotente diferente de 0 y 1. [1] (Si f es un endomorfismo idempotente de M , entonces M es la suma directa de ker( f ) e im( f ).)
Un módulo de longitud finita es indescomponible si y sólo si su anillo de endomorfismo es local . El lema de ajuste proporciona aún más información sobre los endomorfismos de indecomponibles de longitud finita .
En la situación de longitud finita, la descomposición en indescomponibles es particularmente útil, debido al teorema de Krull-Schmidt : cada módulo de longitud finita se puede escribir como una suma directa de un número finito de módulos indescomponibles, y esta descomposición es esencialmente única (lo que significa que si Si tiene una descomposición diferente en indescomponibles, entonces los sumandos de la primera descomposición se pueden emparejar con los sumandos de la segunda descomposición para que los miembros de cada par sean isomórficos). [5]