Incrustar

Inclusión de una estructura matemática en otra, conservando propiedades de interés

En matemáticas , una incrustación (o incrustación ^[1] ) es una instancia de alguna estructura matemática contenida dentro de otra instancia, como un grupo que es un subgrupo .

Cuando se dice que un objeto está incrustado en otro objeto , la incrustación se da mediante algún mapa inyectivo y que preserva la estructura . El significado preciso de "que preserva la estructura" depende del tipo de estructura matemática de la que y son instancias. En la terminología de la teoría de categorías , un mapa que preserva la estructura se denomina morfismo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El hecho de que un mapa sea una incrustación se indica a menudo mediante el uso de una "flecha en forma de gancho" ( U+ 21AA ↪ FLECHA HACIA LA DERECHA CON GANCHO ); ^[2] así: (Por otro lado, esta notación a veces se reserva para mapas de inclusión ). ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

Dados y , pueden ser posibles varias incrustaciones diferentes de en . En muchos casos de interés existe una incrustación estándar (o "canónica"), como las de los números naturales en los números enteros , los números enteros en los números racionales , los números racionales en los números reales y los números reales en los números complejos . En tales casos es común identificar el dominio con su imagen contenida en , de modo que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Topología y geometría

Topología general

En topología general , una incrustación es un homeomorfismo sobre su imagen. ^[3] Más explícitamente, una función continua inyectiva entre espacios topológicos y es una incrustación topológica si produce un homeomorfismo entre y (donde lleva la topología del subespacio heredada de ). Intuitivamente, la incrustación nos permite tratar como un subespacio de . Toda incrustación es inyectiva y continua . Toda función que sea inyectiva, continua y abierta o cerrada es una incrustación; sin embargo, también hay incrustaciones que no son ni abiertas ni cerradas. Esto último sucede si la imagen no es ni un conjunto abierto ni un conjunto cerrado en . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Para un espacio dado , la existencia de una incrustación es un invariante topológico de . Esto permite distinguir dos espacios si uno puede incrustarse en un espacio mientras que el otro no. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones relacionadas

Si el dominio de una función es un espacio topológico entonces se dice que la función es ${\displaystyle f:X\to Y}$localmente inyectiva en un punto si existe algúnentorno de este punto tal que la restricciónes inyectiva. Se llama ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$localmente inyectiva si es localmente inyectiva alrededor de cada punto de su dominio. De manera similar, unaLa incrustación local (topológica o suave) es una función para la cual cada punto en su dominio tiene algún vecindario cuya restricción es una incrustación (topológica o suave).

Toda función inyectiva es localmente inyectiva, pero no a la inversa. Los difeomorfismos locales , los homeomorfismos locales y las inmersiones suaves son todas funciones localmente inyectivas que no son necesariamente inyectivas. El teorema de la función inversa proporciona una condición suficiente para que una función continuamente diferenciable sea (entre otras cosas) localmente inyectiva. Cada fibra de una función localmente inyectiva es necesariamente un subespacio discreto de su dominio. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

Topología diferencial

En topología diferencial : Sean y variedades suaves y una función suave. Entonces se denomina inmersión si su derivada es inyectiva en todas partes. Una incrustación , o una incrustación suave , se define como una inmersión que es una incrustación en el sentido topológico mencionado anteriormente (es decir, homeomorfismo sobre su imagen). ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f}$

En otras palabras, el dominio de una incrustación es difeomórfico a su imagen, y en particular la imagen de una incrustación debe ser una subvariedad . Una inmersión es precisamente una incrustación local , es decir, para cualquier punto existe un entorno tal que es una incrustación. ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle x\in U\subset M}$ ${\displaystyle f:U\to N}$

Cuando la variedad del dominio es compacta, la noción de una incrustación suave es equivalente a la de una inmersión inyectiva.

Un caso importante es . El interés aquí es qué tan grande debe ser para una incrustación, en términos de la dimensión de . El teorema de incrustación de Whitney ^[5] establece que es suficiente, y es el mejor límite lineal posible. Por ejemplo, el espacio proyectivo real de dimensión , donde es una potencia de dos, requiere para una incrustación. Sin embargo, esto no se aplica a las inmersiones; por ejemplo, puede sumergirse en como lo muestra explícitamente la superficie de Boy —que tiene autointersecciones. La superficie romana no puede ser una inmersión ya que contiene tapas cruzadas . ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Una incrustación es adecuada si se comporta bien con respecto a los límites : se requiere que el mapa sea tal que ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$, y
• ${\displaystyle f(X)}$es transversal a en cualquier punto de . ${\displaystyle \partial Y}$ ${\displaystyle f(\partial X)}$

La primera condición es equivalente a tener y . La segunda condición, en términos generales, dice que no es tangente al límite de . ${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$ ${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Geometría riemanniana y pseudo-riemanniana

En geometría riemanniana y geometría pseudo-riemanniana: Sean y variedades riemannianas o, de manera más general, variedades pseudo-riemannianas . Una incrustación isométrica es una incrustación suave que conserva la (pseudo) métrica en el sentido de que es igual al pullback de por , es decir . Explícitamente, para dos vectores tangentes cualesquiera tenemos ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{*}h}$ ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

De manera análoga, la inmersión isométrica es una inmersión entre variedades (pseudo)-riemannianas que preserva las métricas (pseudo)-riemannianas.

De manera equivalente, en la geometría de Riemann, una incrustación isométrica (inmersión) es una incrustación suave (inmersión) que preserva la longitud de las curvas (cf. Teorema de incrustación de Nash ). ^[6]

Álgebra

En general, para una categoría algebraica , una incrustación entre dos estructuras -algebraicas es un -morfismo que es inyectivo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e:X\rightarrow Y}$

Teoría de campos

En teoría de campos , una incrustación de un campo en un campo es un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$

El núcleo de es un ideal de , que no puede ser todo el cuerpo , debido a la condición . Además, cualquier cuerpo tiene como ideales solo el ideal cero y todo el cuerpo mismo (porque si hay algún elemento de cuerpo distinto de cero en un ideal, es invertible, lo que demuestra que el ideal es todo el cuerpo). Por lo tanto, el núcleo es , por lo que cualquier incrustación de cuerpos es un monomorfismo . Por lo tanto, es isomorfo al subcuerpo de . Esto justifica el nombre de incrustación para un homomorfismo arbitrario de cuerpos. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma (E)}$ ${\displaystyle F}$

Álgebra universal y teoría de modelos

Si es una firma y son - estructuras (también llamadas -álgebras en álgebra universal o modelos en teoría de modelos ), entonces un mapa es una -incrustación exactamente si se cumplen todas las siguientes condiciones: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle h}$es inyectiva,
• para cada símbolo de función -ario y tenemos , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$
• para cada símbolo de relación -ario y tenemos si y solo si ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

Aquí hay una notación teórica de modelos equivalente a . En la teoría de modelos también hay una noción más fuerte de incrustación elemental . ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$

Teoría del orden y teoría del dominio

En la teoría del orden , una incrustación de conjuntos parcialmente ordenados es una función entre conjuntos parcialmente ordenados y tal que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

La inyectividad de se desprende rápidamente de esta definición. En la teoría de dominios , un requisito adicional es que ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}}$está dirigido .

Espacios métricos

Una aplicación de espacios métricos se denomina incrustación (con distorsión ) si ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

para cada y alguna constante . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle L>0}$

Espacios normados

Un caso especial importante es el de los espacios normados ; en este caso es natural considerar incrustaciones lineales.

Una de las preguntas básicas que se pueden hacer acerca de un espacio normado de dimensión finita es: ¿cuál es la dimensión máxima en la que el espacio de Hilbert puede ser incrustado linealmente con una distorsión constante? ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$ ${\displaystyle X}$

La respuesta la da el teorema de Dvoretzky .

Teoría de categorías

En la teoría de categorías , no existe una definición satisfactoria y generalmente aceptada de incrustaciones que sea aplicable a todas las categorías. Se esperaría que todos los isomorfismos y todas las composiciones de incrustaciones sean incrustaciones, y que todas las incrustaciones sean monomorfismos. Otros requisitos típicos son: cualquier monomorfismo extremal es una incrustación y las incrustaciones son estables ante retrocesos .

Idealmente, la clase de todos los subobjetos incrustados de un objeto dado, hasta el isomorfismo, también debería ser pequeña y, por lo tanto, un conjunto ordenado . En este caso, se dice que la categoría está bien potenciada con respecto a la clase de incrustaciones. Esto permite definir nuevas estructuras locales en la categoría (como un operador de cierre ).

En una categoría concreta , una incrustación es un morfismo que es una función inyectiva del conjunto subyacente de al conjunto subyacente de y también es un morfismo inicial en el siguiente sentido: Si es una función del conjunto subyacente de un objeto al conjunto subyacente de , y si su composición con es un morfismo , entonces en sí mismo es un morfismo. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fg:C\rightarrow B}$ ${\displaystyle g}$

Un sistema de factorización para una categoría también da lugar a una noción de incrustación. Si es un sistema de factorización, entonces los morfismos en pueden considerarse como incrustaciones, especialmente cuando la categoría está bien potenciada con respecto a . Las teorías concretas a menudo tienen un sistema de factorización en el que consiste en las incrustaciones en el sentido anterior. Este es el caso de la mayoría de los ejemplos dados en este artículo. ${\displaystyle (E,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Como es habitual en la teoría de categorías, existe un concepto dual , conocido como cociente. Todas las propiedades anteriores pueden dualizarse.

Una incrustación también puede referirse a un funtor de incrustación .

Véase también

• Espacio ambiental
• Inmersión cerrada
• Cubrir
• Reducción de dimensión
• Plano (geometría)
• Inmersión
• Lema de Johnson-Lindenstrauss
• Subvariedad
• Subespacio
• Espacio universal

Notas

1. Spivak 1999, p. 49 sugiere que "los ingleses" (es decir, los británicos) utilizan "embedding" en lugar de "imbedding".
2. "Flechas – Unicode" (PDF) . Consultado el 7 de febrero de 2017 .
3. Hocking y Young 1988, pág. 73. Sharpe 1997, pág. 16.
4. Bishop y Crittenden 1964, pág. 21. Bishop y Goldberg 1968, pág. 40. Crampin y Pirani 1994, pág. 243. do Carmo 1994, pág. 11. Flanders 1989, pág. 53. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 12. Kobayashi y Nomizu 1963, pág. 9. Kosinski 2007, pág. 27. Lang 1999, pág. 27. Lee 1997, pág. 15. Spivak 1999, pág. 49. Warner 1983, pág. 22.
5. Whitney H., Variedades diferenciables, Ann. of Math. (2), 37 (1936), págs. 645–680
6. Nash J., El problema de incrustación para variedades de Riemann, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.

Referencias

• Bishop, Richard Lawrence ; Crittenden, Richard J. (1964). Geometría de variedades . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Bishop, Richard Lawrence ; Goldberg, Samuel Irving (1968). Análisis tensorial en variedades (primera edición de Dover, 1980). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Geometría diferencial aplicable . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Geometría de Riemann . Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Flanders, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Dover. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría de Riemann (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topología. Dover. ISBN 0-486-65676-4.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Variedades diferenciales . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de geometría diferencial, volumen 1 . Nueva York: Wiley-Interscience.
• Lee, John Marshall (1997). Variedades de Riemann . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-94732-9..
• Spivak, Michael (1999) [1970]. Una introducción completa a la geometría diferencial (volumen 1) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-70-5.
• Warner, Frank Wilson (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-90894-3..

Enlaces externos

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos).
• Incorporación de variedades en el Atlas de variedades