Impedancia de la imagen

La impedancia de imagen es un concepto utilizado en el diseño y análisis de redes electrónicas y, más especialmente, en el diseño de filtros. El término impedancia de imagen se aplica a la impedancia que se observa al mirar hacia un puerto de una red. Por lo general, se implica una red de dos puertos , pero el concepto se puede extender a redes con más de dos puertos. La definición de impedancia de imagen para una red de dos puertos es la impedancia, Z _{i 1} , que se observa al mirar hacia el puerto 1 cuando el puerto 2 termina con la impedancia de imagen, Z _{i 2} , para el puerto 2. En general, las impedancias de imagen de los puertos 1 y 2 no serán iguales a menos que la red sea simétrica (o antisimétrica) con respecto a los puertos.

Partes de este artículo o sección se basan en el conocimiento del lector de la representación de impedancia compleja de capacitores e inductores y del conocimiento de la representación de señales en el dominio de frecuencia .

Derivación

Red 'L' simple con impedancia en serie Z y admitancia en derivación Y. Se muestran las impedancias de imagen Z _{i 1} y Z _{i 2}

Se muestra cómo se crea una sección en "T" a partir de dos semisecciones en "L" en cascada. Z _{i 2} está orientada hacia Z _{i 2} para proporcionar impedancias coincidentes

Se muestra cómo se crea una sección "Π" a partir de dos semisecciones "L" en cascada. Z _{i 1} está orientada hacia Z _{i 1} para proporcionar impedancias coincidentes

A continuación se muestra , como ejemplo, la derivación de las impedancias de imagen de una red "L" simple. La red "L" consta de una impedancia en serie , Z , y una admitancia en derivación , Y.

La dificultad aquí es que para encontrar Z _{i 1} primero es necesario terminar el puerto 2 con Z _{i 2} . Sin embargo, Z _{i 2} también es una incógnita en esta etapa. El problema se resuelve terminando el puerto 2 con una red idéntica: el puerto 2 de la segunda red está conectado al puerto 2 de la primera red y el puerto 1 de la segunda red está terminado con Z _{i 1} . La segunda red está terminando la primera red en Z _{i 2} como se requiere. Matemáticamente, esto es equivalente a eliminar una variable de un conjunto de ecuaciones simultáneas. La red ahora se puede resolver para Z _{i 1} . Escribiendo la expresión para la impedancia de entrada se obtiene:

${\displaystyle Z_{i1}=Z+{\frac {1}{2Y+{\frac {1}{Z+Z_{i1}}}}}}$

y resolviendo para ${\displaystyle Z_{i1}\ ,}$

${\displaystyle Z_{i1}^{2}=Z^{2}+{\frac {Z}{Y}}}$

Z _{i 2} se encuentra mediante un proceso similar, pero es más sencillo trabajar en términos del recíproco, es decir, la admitancia de imagen Y _{i 2} .

${\displaystyle Y_{i2}^{2}=Y^{2}+{\frac {Y}{Z}}~.}$

Además, se puede ver a partir de estas expresiones que las dos impedancias de imagen están relacionadas entre sí por:

${\displaystyle {\frac {Z_{i1}}{Y_{i2}}}={\frac {Z}{Y}}~.}$

Medición

Medir directamente la impedancia de la imagen mediante el ajuste de las terminaciones es un proceso iterativo inconveniente y requiere componentes ajustables con precisión para efectuar la terminación. Una técnica alternativa para determinar la impedancia de la imagen del puerto 1 es medir la impedancia de cortocircuito Z _SC (es decir, la impedancia de entrada del puerto 1 cuando el puerto 2 está en cortocircuito) y la impedancia de circuito abierto Z _OC (la impedancia de entrada del puerto 1 cuando el puerto 2 está en circuito abierto). La impedancia de la imagen se obtiene entonces mediante:

${\displaystyle Z_{i1}={\sqrt {Z_{\mathrm {SC} }Z_{\mathrm {OC} }}}}$

Este método no requiere conocimientos previos de la topología de la red que se está midiendo.

Uso en el diseño de filtros

Cuando se utiliza en el diseño de filtros, la red en "L" analizada anteriormente se suele denominar media sección. Dos medias secciones en cascada formarán una sección T o una sección Π, según qué puerto de la sección L aparezca primero. Esto lleva a la terminología de Z _{i T} para significar Z _{i 1} en el análisis anterior y Z _{i Π} para significar Z _{i 2} .

Relación con la impedancia característica

La impedancia de imagen es un concepto similar a la impedancia característica utilizada en el análisis de líneas de transmisión . De hecho, en el caso límite de una cadena de redes en cascada donde el tamaño de cada red individual se acerca a un elemento infinitesimalmente pequeño, el límite matemático de la expresión de impedancia de imagen es la impedancia característica de la cadena. ^{[1] [2] [3]} Es decir,

${\displaystyle Z_{i}^{2}\rightarrow {\frac {Z}{Y}}}$

La conexión entre ambos se puede ver mejor si se observa una definición alternativa, pero equivalente, de impedancia de imagen. En esta definición, la impedancia de imagen de una red es la impedancia de entrada de una cadena infinitamente larga de redes idénticas en cascada (con los puertos dispuestos de manera que impedancias iguales se enfrentan a impedancias iguales). Esto es directamente análogo a la definición de impedancia característica como la impedancia de entrada de una línea infinitamente larga.

Por el contrario, es posible analizar una línea de transmisión con componentes concentrados , como una que utiliza bobinas de carga , en términos de un filtro de impedancia de imagen.

Función de transferencia

La función de transferencia de la media sección, al igual que la impedancia de imagen, se calcula para una red terminada en sus impedancias de imagen (o equivalentemente, para una sola sección en una cadena infinitamente larga de secciones idénticas) y se da por,

${\displaystyle A(i\omega )={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}e^{-\gamma }}$

donde γ se denomina función de transmisión, función de propagación o parámetro de transmisión y viene dada por,

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\sqrt {ZY}}}$

El término representa la relación de voltaje que se observaría si la potencia máxima disponible se transfiriera de la fuente a la carga. Sería posible absorber este término en la definición de γ y en algunos tratamientos se adopta este enfoque. En el caso de una red con impedancias de imagen simétricas, como una cadena de un número par de secciones L idénticas, la expresión se reduce a: ${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}}$

${\displaystyle A(i\omega )=e^{-\gamma }\,\!}$

En general, γ es un número complejo tal que,

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \,\!}$

La parte real de γ representa un parámetro de atenuación, α en neperios y la parte imaginaria representa un parámetro de cambio de fase, β en radianes . Los parámetros de transmisión para una cadena de n semisecciones, siempre que la misma impedancia se enfrente siempre a la misma, se dan por:

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

Al igual que con la impedancia de la imagen, los parámetros de transmisión se aproximan a los de una línea de transmisión a medida que la sección del filtro se vuelve infinitesimalmente pequeña, de modo que,

${\displaystyle \gamma \rightarrow {\sqrt {ZY}}}$

con α , β , γ , Z e Y ahora se miden por metro en lugar de por media sección.

Relación con los parámetros de red de dos puertos

Parámetros ABCD

Para una red recíproca ( AD − BC =1 ), las impedancias de imagen se pueden expresar ^[4] en términos de parámetros ABCD como,

${\displaystyle Z_{I1}={\sqrt {\frac {AB}{CD}}}}$

${\displaystyle Z_{I2}={\sqrt {\frac {DB}{CA}}}}$.

El término de propagación de la imagen, γ, puede expresarse como,

${\displaystyle \gamma =\cosh ^{-1}{\sqrt {AD}}}$.

Tenga en cuenta que el término de propagación de la imagen para un segmento de línea de transmisión es equivalente a la constante de propagación de la línea de transmisión multiplicada por la longitud.

Véase también

• Filtros k constantes
• filtros derivados de m
• Impedancia iterativa
• impedancia característica

Referencias

1. Lee, Thomas H. (2004). "2.5. Impedancia del punto de excitación de la estructura iterada". Ingeniería de microondas plana: una guía práctica de teoría, medición y circuitos . Cambridge University Press. pág. 44.
2. Niknejad, Ali M. (2007). "Sección 9.2. Una red de escalera infinita". Electromagnetismo para circuitos de comunicación analógicos y digitales de alta velocidad .
3. Feynman, Richard ; Leighton, Robert B. ; Sands, Matthew . "Sección 22-7. Filtro". Las conferencias de física de Feynman . Vol. 2. Si imaginamos la línea dividida en pequeñas longitudes Δℓ, cada longitud se verá como una sección de la escalera LC con una inductancia en serie ΔL y una capacitancia en derivación ΔC. Luego podemos usar nuestros resultados para el filtro de escalera. Si tomamos el límite cuando Δℓ tiende a cero, tenemos una buena descripción de la línea de transmisión. Observe que a medida que Δℓ se hace cada vez más pequeño, tanto ΔL como ΔC disminuyen, pero en la misma proporción, de modo que la relación ΔL/ΔC permanece constante. Entonces, si tomamos el límite de la ecuación. (22.28) cuando ΔL y ΔC tienden a cero, encontramos que la impedancia característica z0 es una resistencia pura cuya magnitud es √(ΔL/ΔC). También podemos escribir la relación ΔL/ΔC como L0/C0, donde L0 y C0 son la inductancia y la capacitancia de una unidad de longitud de la línea; entonces tenemos ${\displaystyle {\sqrt {\frac {L_{0}}{C_{0}}}}}$.
4. Pedro LD Peres, Carlos R. de Souza, Ivanil S. Bonatti, "Matriz ABCD: una herramienta única para el modelado lineal de líneas de transmisión de dos cables", The International Journal of Electrical Engineering & Education , vol. 40, iss. 3, pp. 220–229, 2003, archivado el 4 de marzo de 2016.

• Matthaei, Young, Jones Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento McGraw-Hill 1964