Función constante

Tipo de función matemática

En matemáticas , una función constante es una función cuyo valor (de salida) es el mismo para cada valor de entrada.

Propiedades básicas

Un ejemplo de una función constante es y ( x ) = 4 , porque el valor de y ( x ) es 4 independientemente del valor de entrada x .

Como función de valor real de un argumento de valor real, una función constante tiene la forma general y ( x ) = c o simplemente y = c . Por ejemplo, la función y ( x ) = 4 es la función constante específica donde el valor de salida es c = 4 . El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales . La imagen de esta función es el conjunto singleton {4} . La variable independiente x no aparece en el lado derecho de la expresión de la función y, por lo tanto, su valor se "sustituye vacíamente"; es decir, y (0) = 4 , y (−2,7) = 4 , y (π) = 4 , y así sucesivamente. No importa qué valor de x se ingrese, la salida es 4 . ^[1]

La gráfica de la función constante y = c es una línea horizontal en el plano que pasa por el punto (0, c ) . ^[2] En el contexto de un polinomio de una variable x , la función constante se llama función constante distinta de cero porque es un polinomio de grado 0, y su forma general es f ( x ) = c , donde c es distinto de cero. Esta función no tiene punto de intersección con el eje x , lo que significa que no tiene raíz (cero) . Por otro lado, el polinomio f ( x ) = 0 es la función idénticamente cero . Es la función constante (trivial) y cada x es una raíz. Su gráfica es el eje x en el plano. ^[3] Su gráfica es simétrica con respecto al eje y , y por lo tanto una función constante es una función par . ^[4]

En el contexto en el que se define, la derivada de una función es una medida de la tasa de cambio de los valores de la función con respecto al cambio en los valores de entrada. Debido a que una función constante no cambia, su derivada es 0. ^[5] Esto a menudo se escribe: . La inversa también es cierta. Es decir, si y ′( x ) = 0 para todos los números reales x , entonces y es una función constante. ^[6] Por ejemplo, dada la función constante . La derivada de y es la función idénticamente cero . ${\displaystyle (x\mapsto c)'=0}$ ${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle y'(x)=\left(x\mapsto -{\sqrt {2}}\right)'=0}$

Otras propiedades

Para funciones entre conjuntos preordenados , las funciones constantes preservan y revierten el orden ; a la inversa, si f preserva y revierte el orden, y si el dominio de f es una red , entonces f debe ser constante.

• Toda función constante cuyo dominio y codominio son el mismo conjunto X es un cero izquierdo del monoide de transformación completo en X , lo que implica que también es idempotente .
• Tiene pendiente o gradiente cero .
• Toda función constante entre espacios topológicos es continua .
• Una función constante se factoriza a través del conjunto de un punto , el objeto terminal en la categoría de conjuntos . Esta observación es fundamental para la axiomatización de la teoría de conjuntos de F. William Lawvere , la Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos (ETCS). ^[7]
• Para cualquier X no vacío , todo conjunto Y es isomorfo al conjunto de funciones constantes en . Para cualquier X y cada elemento y en Y , existe una función única tal que para todo . Por el contrario, si una función satisface para todo , es por definición una función constante. ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}:X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}(x)=y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(x)=f(x')}$ ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle f}$
  • Como corolario, el conjunto de un punto es un generador en la categoría de conjuntos.
  • Todo conjunto es canónicamente isomorfo al conjunto función , o conjunto hom en la categoría de conjuntos, donde 1 es el conjunto unipuntual. Debido a esto, y a la adjunción entre productos cartesianos y hom en la categoría de conjuntos (por lo que hay un isomorfismo canónico entre funciones de dos variables y funciones de una variable valoradas en funciones de otra (única) variable, ) la categoría de conjuntos es una categoría monoidal cerrada con el producto cartesiano de conjuntos como producto tensorial y el conjunto unipuntual como unidad tensorial. En los isomorfismos naturales en X , los unitores izquierdo y derecho son las proyecciones y los pares ordenados y respectivamente al elemento , donde es el único punto en el conjunto unipuntual. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$ ${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle (*,x)}$ ${\displaystyle (x,*)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle *}$

Una función en un conjunto conexo es localmente constante si y sólo si es constante.

Referencias

1. Tanton, James (2005). Enciclopedia de matemáticas. Facts on File, Nueva York. pág. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
2. Dawkins, Paul (2007). "College Algebra". Lamar University. p. 224. Consultado el 12 de enero de 2014 .
3. Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). "1". Conceptos matemáticos avanzados: precálculo con aplicaciones, edición para estudiantes (1.ª edición). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. pág. 22. ISBN 978-0078682278.
4. Young, Cynthia Y. (2021). Precálculo (3.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 122. ISBN 978-1-119-58294-6.
5. Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (9ª ed.). Pearson Prentice Hall . pag. 107.ISBN​ 978-0131469686.
6. "La derivada cero implica una función constante" . Consultado el 12 de enero de 2014 .
7. Leinster, Tom (27 de junio de 2011). "Una introducción informal a la teoría de topos". arXiv : 1012.5647 [math.CT].

• Herrlich, Horst y Strecker, George E., Teoría de categorías , Heldermann Verlag (2007).

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función constante". MathWorld .
• "Función constante". PlanetMath .