En geometría algebraica y otras áreas de las matemáticas , un haz ideal (o haz de ideales ) es el análogo global de un ideal en un anillo . Los haces ideales de un objeto geométrico están estrechamente conectados con sus subespacios.
Sea X un espacio topológico y A un haz de anillos en X . (En otras palabras, ( X , A ) es un espacio anillado .) Un haz ideal J en A es un subobjeto de A en la categoría de haces de A -módulos, es decir, un subhaz de A visto como un haz de grupos abelianos tales que
para todos los subconjuntos abiertos U de X . En otras palabras, J es un haz de A -submódulos de A .
En el contexto de los esquemas , la importancia de los haces ideales radica principalmente en la correspondencia entre subesquemas cerrados y haces ideales cuasi-coherentes . Considérese un esquema X y un haz ideal cuasi-coherente J en O X. Entonces, el soporte Z de O X / J es un subespacio cerrado de X , y ( Z , O X / J ) es un esquema (ambas afirmaciones pueden comprobarse localmente). Se denomina subesquema cerrado de X definido por J. A la inversa, sea i : Z → X una inmersión cerrada , es decir, un morfismo que es un homeomorfismo sobre un subespacio cerrado tal que la función asociada
es sobreyectiva sobre los tallos. Entonces, el núcleo J de i # es un haz ideal cuasi-coherente, e i induce un isomorfismo de Z sobre el subesquema cerrado definido por J . [1]
Un caso particular de esta correspondencia es el único subesquema reducido X rojo de X que tiene el mismo espacio subyacente, que está definido por el nilradical de O X (definido en forma de tallo o en cartas afines abiertas). [2]
Para un morfismo f : X → Y y un subesquema cerrado Y ′ ⊆ Y definido por un haz ideal J , la preimagen Y ′ × Y X está definida por el haz ideal [3]
El retroceso de un haz ideal J al subesquema Z definido por J contiene información importante; se denomina fibrado conormal de Z. Por ejemplo, el haz de diferenciales de Kähler puede definirse como el retroceso del haz ideal que define la diagonal X → X × X a X. (Supongamos, para simplificar, que X está separado de modo que la diagonal es una inmersión cerrada). [4]
En la teoría de espacios analíticos complejos , el teorema de Oka-Cartan establece que un subconjunto cerrado A de un espacio complejo es analítico si y solo si el haz ideal de funciones que se anulan en A es coherente . Este haz ideal también confiere a A la estructura de un subespacio complejo cerrado reducido.