Espacio hiperconectado

En el campo matemático de la topología , un espacio hiperconectado ^{[1] [2]} o espacio irreducible ^[2] es un espacio topológico X que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos cerrados propios (ya sean disjuntos o no disjuntos). En geometría algebraica se prefiere el nombre de espacio irreducible .

Para un espacio topológico X las siguientes condiciones son equivalentes:

• No hay dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disjuntos .
• X no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos cerrados propios .
• Todo conjunto abierto no vacío es denso en X .
• El interior de todo subconjunto cerrado propio de X está vacío.
• Cada subconjunto es denso o no es denso en ninguna parte en X .
• No hay dos puntos que puedan estar separados por vecindades disjuntas.

Un espacio que satisface cualquiera de estas condiciones se llama hiperconectado o irreductible . Debido a la condición de que las vecindades de puntos distintos sean en cierto sentido lo opuesto a la propiedad de Hausdorff , algunos autores llaman a estos espacios anti-Hausdorff . ^[3]

El conjunto vacío es vagamente un espacio hiperconectado o irreducible según la definición anterior (porque no contiene conjuntos abiertos no vacíos). Sin embargo, algunos autores, ^[4] especialmente aquellos interesados ​​en aplicaciones a la geometría algebraica , añaden una condición explícita de que un espacio irreducible no debe estar vacío.

Un conjunto irreducible es un subconjunto de un espacio topológico para el cual la topología del subespacio es irreducible.

Ejemplos

Dos ejemplos de espacios hiperconectados desde la topología de conjuntos de puntos son la topología cofinita en cualquier conjunto infinito y la topología de orden correcto en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En geometría algebraica, tomar el espectro de un anillo cuyo anillo reducido es un dominio integral es un espacio topológico irreducible; aplicar el teorema de la red al radical nil , que está dentro de cada primo, para mostrar que el espectro del mapa cociente es un homeomorfismo, esto se reduce a la irreductibilidad del espectro de un dominio integral. Por ejemplo, los esquemas

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$, ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}\right)}$

son irreducibles ya que en ambos casos los polinomios que definen el ideal son polinomios irreducibles (lo que significa que no tienen factorización no trivial). Un no ejemplo está dado por el divisor de cruce normal

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

ya que el espacio subyacente es la unión de los planos afines , , y . Otro no ejemplo lo da el esquema ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

donde es un polinomio homogéneo irreducible de grado 4. Esta es la unión de las dos curvas del género 3 (según la fórmula género-grado ) ${\displaystyle f_{4}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

Hiperconexión versus conectividad

Todo espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado por caminos o conectado localmente por caminos ).

Tenga en cuenta que en la definición de hiperconectividad, los conjuntos cerrados no tienen por qué ser disjuntos. Esto contrasta con la definición de conectividad, en la que los conjuntos abiertos son disjuntos.

Por ejemplo, el espacio de números reales con la topología estándar es conexo pero no hiperconectado. Esto se debe a que no se puede escribir como una unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, pero sí como una unión de dos conjuntos cerrados (no disjuntos).

Propiedades

• Los subconjuntos abiertos no vacíos de un espacio hiperconectado son "grandes" en el sentido de que cada uno es denso en X y cualquier par de ellos se cruza. Por lo tanto, un espacio hiperconectado no puede ser Hausdorff a menos que contenga un solo punto.
• Todo espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado por caminos o conectado localmente por caminos ).
• Dado que el cierre de cada conjunto abierto no vacío en un espacio hiperconectado es el espacio completo, que es un conjunto abierto, cada espacio hiperconectado está extremadamente desconectado .
• La imagen continua de un espacio hiperconectado es hiperconectada. ^[5] En particular, cualquier función continua desde un espacio hiperconectado a un espacio de Hausdorff debe ser constante. De ello se deduce que todo espacio hiperconectado es pseudocompacto .
• Todo subespacio abierto de un espacio hiperconectado está hiperconectado. ^[6]

Prueba: Sea un subconjunto abierto. Cualesquiera dos subconjuntos abiertos disjuntos de serían a su vez subconjuntos abiertos disjuntos de . Entonces al menos uno de ellos debe estar vacío. ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

• De manera más general, todo subconjunto denso de un espacio hiperconectado está hiperconectado.

Prueba: supongamos que es un subconjunto denso de y con cerrado en . Entonces . Como está hiperconectado, uno de los dos cierres es todo el espacio , digamos . Esto implica que es denso y, como está cerrado , debe ser igual a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• Un subespacio cerrado de un espacio hiperconectado no tiene por qué estar hiperconectado.

Contraejemplo: con un campo algebraicamente cerrado (por lo tanto infinito) es hiperconectado ^[7] en la topología de Zariski , mientras que es cerrado y no hiperconectado. ${\displaystyle \Bbbk ^{2}}$ ${\displaystyle \Bbbk }$ ${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$

• El cierre de cualquier conjunto irreducible es irreducible. ^[8]

Prueba: supongamos que donde es irreducible y escriba para dos subconjuntos cerrados (y por lo tanto en ). están cerrados y lo que implica o , pero entonces o por definición de cierre . ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$ ${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=F'\cup G'}$ ${\displaystyle S\subseteq F}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$

• Un espacio que puede escribirse como abierto e irreductible de tal manera que sea irreductible. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$

Prueba: En primer lugar, notamos que si es un conjunto abierto no vacío, entonces interseca a ambos y ; de hecho, supongamos que , entonces es denso en , por lo tanto y es un punto de cierre de lo que implica y a fortiori . Ahora y tomando el cierre, por lo tanto , hay un subconjunto denso y abierto no vacío de . Dado que esto es cierto para todo subconjunto abierto no vacío, es irreducible. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in U_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Componentes irreductibles

Un componente irreducible ^[10] en un espacio topológico es un subconjunto irreducible máximo (es decir, un conjunto irreducible que no está contenido en ningún conjunto irreducible mayor). Los componentes irreducibles siempre están cerrados.

Cada subconjunto irreducible de un espacio X está contenido en un componente irreducible (no necesariamente único) de X. ^[11] En particular, cada punto de X está contenido en algún componente irreducible de X. A diferencia de los componentes conectados de un espacio, los componentes irreductibles no necesitan estar separados (es decir, no necesitan formar una partición ). En general, los componentes irreductibles se superpondrán.

Los componentes irreducibles de un espacio de Hausdorff son sólo los conjuntos singleton .

Dado que todo espacio irreducible está conexo, los componentes irreducibles siempre estarán en los componentes conectados.

Todo espacio topológico noetheriano tiene un número finito de componentes irreducibles. ^[12]

Ver también

• Espacio ultraconectado
• Espacio sobrio
• Geométricamente irreducible

Notas

1. Steen y Seebach, pag. 29
2. Hart, Nagata y Vaughan 2004, pág. 9.
3. Van Douwen, Eric K. (1993). "Un espacio anti-Hausdorff Fréchet en el que las secuencias convergentes tienen límites únicos". Topología y sus aplicaciones . 51 (2): 147-158. doi : 10.1016/0166-8641(93)90147-6 .
4. "Sección 5.8 (004U): Componentes irreducibles: el proyecto Stacks".
5. Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95.ISBN​ 978-3-540-64239-8.
6. Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95.ISBN​ 978-3-540-64239-8.
7. Perrin, Daniel (2008). Geometría algebraica. Una introducción . Saltador. pag. 14.ISBN​ 978-1-84800-055-1.
8. "Lema 5.8.3 (004W): el proyecto Stacks".
9. Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7 . Saltador. pag. 95.ISBN​ 978-3-540-64239-8.
10. "Definición 5.8.1 (004V): el proyecto Stacks".
11. "Lema 5.8.3 (004W): el proyecto Stacks".
12. "Sección 5.9 (0050): Espacios topológicos noetherianos: el proyecto Stacks".

Referencias

• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier/Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, SEÑOR  0507446
• "Espacio hiperconectado". PlanetMath .