Hipercomputación

Modelos de computacion

La hipercomputación o supercomputación de Turing es un conjunto de modelos hipotéticos de computación que pueden proporcionar resultados que no son computables por Turing . Por ejemplo, una máquina que podría resolver el problema de la detención sería una hipercomputadora; también lo haría alguien que pudiera evaluar correctamente cada enunciado en la aritmética de Peano .

La tesis de Church-Turing afirma que cualquier función "computable" que pueda ser calculada por un matemático con lápiz y papel utilizando un conjunto finito de algoritmos simples, puede calcularse mediante una máquina de Turing. Las hipercomputadoras calculan funciones que una máquina de Turing no puede y que, por tanto, no son computables en el sentido de Church-Turing.

Técnicamente, la salida de una máquina de Turing aleatoria es incalculable; sin embargo, la mayor parte de la literatura sobre hipercomputación se centra en el cálculo de funciones deterministas, en lugar de funciones aleatorias e incomputables.

Historia

Alan Turing introdujo un modelo computacional que va más allá de las máquinas de Turing en su tesis doctoral de 1938, Sistemas de lógica basados ​​en ordinales . ^[1] Este artículo investigó sistemas matemáticos en los que estaba disponible un oráculo , que podía calcular una única función arbitraria (no recursiva) de naturales a naturales. Utilizó este recurso para demostrar que incluso en los sistemas más potentes la indecidibilidad sigue presente. Las máquinas oráculo de Turing son abstracciones matemáticas y no son físicamente realizables. ^[2]

Espacio de Estados

En cierto sentido, la mayoría de las funciones son incomputables: hay funciones computables, pero hay un número incontable ( ) de posibles funciones de Super-Turing. ^[3] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Modelos

Los modelos de hipercomputadoras varían desde útiles pero probablemente irrealizables (como las máquinas oráculo originales de Turing) hasta generadores de funciones aleatorias menos útiles que son más plausiblemente "realizables" (como una máquina aleatoria de Turing ).

Entradas no computables o componentes de caja negra

Un sistema al que se le otorga el conocimiento de la constante oracular e incalculable de Chaitin (un número con una secuencia infinita de dígitos que codifica la solución al problema de detención) como entrada puede resolver una gran cantidad de problemas indecidibles útiles; un sistema al que se le otorga un generador de números aleatorios incomputables como entrada puede crear funciones aleatorias incomputables, pero generalmente no se cree que sea capaz de resolver de manera significativa funciones no computables "útiles", como el problema de detención. Existe un número ilimitado de diferentes tipos de hipercomputadoras concebibles, entre ellas:

• Las máquinas oráculo originales de Turing, definidas por Turing en 1939.
• Una computadora real (una especie de computadora analógica idealizada ) puede realizar hipercómputo ^{[4] si la física admite variables} reales generales (no sólo reales computables ), y éstas son de alguna manera "aprovechables" para un cálculo útil (en lugar de aleatorio). Esto podría requerir leyes de la física bastante extrañas (por ejemplo, una constante física mensurable con un valor oracular, como la constante de Chaitin ), y requeriría la capacidad de medir el valor físico real con precisión arbitraria, aunque la física estándar hace que tales valores sean arbitrarios. -mediciones de precisión teóricamente inviables. ^[5]
  • De manera similar, una red neuronal que de alguna manera tuviera la constante de Chaitin exactamente incorporada en su función de peso sería capaz de resolver el problema de la detención, ^[6] pero está sujeta a las mismas dificultades físicas que otros modelos de hipercomputación basados ​​en computación real.
• Ciertas "máquinas de Turing difusas" basadas en lógica difusa pueden, por definición, resolver accidentalmente el problema de detención, pero sólo porque su capacidad para resolver el problema de detención se asume indirectamente en la especificación de la máquina; esto tiende a verse como un "error" en las especificaciones originales de las máquinas. ^{[7] [8]}
  • De manera similar, un modelo propuesto conocido como no determinismo justo puede permitir accidentalmente el cálculo oracular de funciones no computables, porque algunos de estos sistemas, por definición, tienen la capacidad oracular de identificar entradas rechazadas que harían "injustamente" que un subsistema se ejecutara para siempre. ^{[9] [10]}
• Dmytro Taranovsky ha propuesto un modelo finitista de ramas de análisis tradicionalmente no finitistas, construido alrededor de una máquina de Turing equipada con una función en rápido crecimiento como su oráculo. Mediante este modelo y otros más complicados pudo dar una interpretación de la aritmética de segundo orden. Estos modelos requieren una entrada no computable, como un proceso físico de generación de eventos donde el intervalo entre eventos crece a un ritmo incalculablemente grande. ^[11]
  • De manera similar, una interpretación poco ortodoxa de un modelo de no determinismo ilimitado postula, por definición, que el período de tiempo necesario para que un "actor" llegue a un acuerdo es fundamentalmente incognoscible y, por lo tanto, no se puede probar, dentro del modelo, que no se necesita un período de tiempo incalculablemente largo. ^[12]

Modelos de "pasos computacionales infinitos"

Para funcionar correctamente, ciertos cálculos realizados por las máquinas que aparecen a continuación requieren literalmente espacio y recursos físicos infinitos, en lugar de simplemente ilimitados pero finitos; en cambio, con una máquina de Turing, cualquier cálculo que se detenga requerirá sólo recursos y espacio físico finitos.

Una máquina de Turing que puede completar infinitos pasos en un tiempo finito, una hazaña conocida como supertarea . No basta con poder correr un número ilimitado de pasos. Un modelo matemático es la máquina Zenón (inspirada en la paradoja de Zenón ). La máquina Zeno realiza su primer paso de cálculo en (digamos) 1 minuto, el segundo paso en ½ minuto, el tercer paso en ¼ de minuto, etc. Sumando 1 + ½ + ¼ +... (una serie geométrica ) vemos que la máquina realiza infinitos pasos en un total de 2 minutos. Según Oron Shagrir , las máquinas Zeno introducen paradojas físicas y su estado lógicamente no está definido fuera del período abierto unilateral de [0, 2), por lo que no está definido exactamente 2 minutos después del inicio del cálculo. ^[13]

Parece natural que la posibilidad de viajar en el tiempo (existencia de curvas temporales cerradas (CTC)) haga posible la hipercomputación por sí sola. Sin embargo, esto no es así ya que un CTC no proporciona (por sí solo) la cantidad ilimitada de almacenamiento que requeriría un cálculo infinito. Sin embargo, hay espacios-tiempos en los que la región CTC se puede utilizar para hipercomputación relativista. ^[14] Según un artículo de 1992, ^[15] una computadora que funcione en un espacio-tiempo de Malament-Hogarth o en órbita alrededor de un agujero negro giratorio ^[16] podría, en teoría, realizar cálculos que no sean los de Turing para un observador dentro del agujero negro. ^{[17] [18]} El acceso a un CTC puede permitir la solución rápida de problemas completos de PSPACE , una clase de complejidad que, si bien es decidible según Turing, generalmente se considera computacionalmente intratable. ^{[19] [20]}

Modelos cuánticos

Algunos estudiosos conjeturan que un sistema mecánico cuántico que de alguna manera utilice una superposición infinita de estados podría calcular una función no computable . ^[21] Esto no es posible utilizando la computadora cuántica modelo qubit estándar , porque está demostrado que una computadora cuántica normal es reducible por PSPACE (una computadora cuántica que funciona en tiempo polinómico puede ser simulada por una computadora clásica que funciona en espacio polinómico ). ^[22]

Sistemas "eventualmente correctos"

Algunos sistemas físicamente realizables siempre eventualmente convergerán hacia la respuesta correcta, pero tienen el defecto de que a menudo generarán una respuesta incorrecta y se quedarán con la respuesta incorrecta durante un período de tiempo incalculablemente largo antes de regresar y corregir el error.

A mediados de la década de 1960, E Mark Gold y Hilary Putnam propusieron de forma independiente modelos de inferencia inductiva (los "funcionales recursivos limitantes" ^[23] y los "predicados de prueba y error", ^[24] respectivamente). Estos modelos permiten que algunos conjuntos no recursivos de números o idiomas (incluidos todos los conjuntos de idiomas recursivamente enumerables ) se "aprendan en el límite"; mientras que, por definición, una máquina de Turing sólo podía identificar conjuntos recursivos de números o lenguajes. Si bien la máquina se estabilizará en la respuesta correcta en cualquier conjunto que se pueda aprender en un tiempo finito, sólo puede identificarla como correcta si es recursiva; de lo contrario, la corrección se establece únicamente haciendo funcionar la máquina continuamente y observando que nunca revisa su respuesta. Putnam identificó esta nueva interpretación como la clase de predicados "empíricos", afirmando: "si siempre 'postulamos' que la respuesta generada más recientemente es correcta, cometeremos un número finito de errores, pero eventualmente obtendremos la respuesta correcta. (Tenga en cuenta, sin embargo, que incluso si hemos llegado a la respuesta correcta (el final de la secuencia finita) nunca estamos seguros de tener la respuesta correcta)". ^[24] Artículo de LK Schubert de 1974 "La recursión limitante iterada y el programa Problema de minimización" ^[25] estudió los efectos de iterar el procedimiento limitante; esto permite calcular cualquier predicado aritmético . Schubert escribió: "Intuitivamente, la identificación limitante iterada podría considerarse como una inferencia inductiva de orden superior realizada colectivamente por una comunidad cada vez mayor de máquinas de inferencia inductiva de orden inferior".

Una secuencia de símbolos es computable en el límite si hay un programa finito, posiblemente continuo, en una máquina de Turing universal que genere incrementalmente cada símbolo de la secuencia. Esto incluye la expansión diádica de π y de cualquier otro real computable , pero aún excluye todos los reales no computables. Las 'máquinas monótonas de Turing' utilizadas tradicionalmente en la teoría del tamaño de la descripción no pueden editar sus resultados anteriores; Las máquinas de Turing generalizadas, tal como las define Jürgen Schmidhuber , pueden. Define las secuencias de símbolos describibles constructivamente como aquellas que tienen un programa finito e ininterrumpido ejecutándose en una máquina de Turing generalizada, de modo que cualquier símbolo de salida eventualmente converge; es decir, ya no cambia después de un intervalo de tiempo inicial finito. Debido a las limitaciones expuestas por primera vez por Kurt Gödel (1931), puede resultar imposible predecir el tiempo de convergencia mediante un programa de detención; de lo contrario, el problema de la detención podría resolverse. Schmidhuber ( ^{[26] [27] ) utiliza este enfoque para definir el conjunto de universos o} teorías constructivas del todo formalmente descriptibles o constructivamente computables . Las máquinas de Turing generalizadas pueden llegar a converger hacia una solución correcta del problema de detención mediante la evaluación de una secuencia de Specker .

Análisis de capacidades

Muchas propuestas de hipercomputación equivalen a formas alternativas de leer un oráculo o una función de consejo integrada en una máquina que de otro modo sería clásica. Otros permiten el acceso a algún nivel superior de la jerarquía aritmética . Por ejemplo, las máquinas de Turing con supertareas, bajo los supuestos habituales, podrían calcular cualquier predicado en el grado de la tabla de verdad que contenga o . La recursividad limitante, por el contrario, puede calcular cualquier predicado o función en el grado de Turing correspondiente , que se sabe que es . Gold demostró además que limitar la recursividad parcial permitiría calcular precisamente los predicados. ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$

Crítica

Martin Davis , en sus escritos sobre hipercomputación, ^{[34] [35]} se refiere a este tema como "un mito" y ofrece contraargumentos a la realizabilidad física de la hipercomputación. En cuanto a su teoría, se opone a las afirmaciones de que se trata de un nuevo campo fundado en los años noventa. Este punto de vista se basa en la historia de la teoría de la computabilidad (grados de insolubilidad, computabilidad sobre funciones, números reales y ordinales), como también se mencionó anteriormente. En su argumento, hace una observación de que toda la hipercomputación es poco más que: " si se permiten entradas no computables, entonces se pueden alcanzar salidas no computables " . ^[36]

Ver también

• Física digital
• Límites de cálculo

Referencias

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Otras lecturas

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