trayectoria hiperbólica

Concepto en astrodinámica

El camino azul en esta imagen es un ejemplo de una trayectoria hiperbólica.

En el cuadrante inferior derecho de este diagrama se representa una trayectoria hiperbólica, donde el pozo de potencial gravitacional de la masa central muestra energía potencial y la energía cinética de la trayectoria hiperbólica se muestra en rojo. La altura de la energía cinética disminuye a medida que disminuye la velocidad y aumenta la distancia según las leyes de Kepler. La parte de la energía cinética que permanece por encima de cero es la asociada al exceso de velocidad hiperbólica.

En astrodinámica o mecánica celeste , una trayectoria hiperbólica u órbita hiperbólica es la trayectoria de cualquier objeto alrededor de un cuerpo central con velocidad más que suficiente para escapar de la atracción gravitacional del objeto central. El nombre deriva del hecho de que, según la teoría newtoniana, dicha órbita tiene forma de hipérbola . En términos más técnicos, esto se puede expresar mediante la condición de que la excentricidad orbital sea mayor que uno.

Bajo suposiciones simplistas, un cuerpo que viaja a lo largo de esta trayectoria se deslizará hacia el infinito, alcanzando un exceso de velocidad final en relación con el cuerpo central. De manera similar a las trayectorias parabólicas , todas las trayectorias hiperbólicas también son trayectorias de escape . La energía específica de una órbita con trayectoria hiperbólica es positiva.

Los sobrevuelos planetarios, utilizados para tirachinas gravitacionales , se pueden describir dentro de la esfera de influencia del planeta mediante trayectorias hiperbólicas.

Parámetros que describen una trayectoria hiperbólica.

Al igual que una órbita elíptica, una trayectoria hiperbólica para un sistema dado se puede definir (ignorando la orientación) por su semieje mayor y la excentricidad. Sin embargo, con una órbita hiperbólica, otros parámetros pueden resultar más útiles para comprender el movimiento de un cuerpo. La siguiente tabla enumera los principales parámetros que describen la trayectoria de un cuerpo que sigue una trayectoria hiperbólica alrededor de otro bajo supuestos estándar y la fórmula que los conecta.

Semieje mayor, energía y exceso de velocidad hiperbólica

El semieje mayor ( ) no es inmediatamente visible con una trayectoria hiperbólica pero puede construirse ya que es la distancia desde la periapsis hasta el punto donde se cruzan las dos asíntotas. Generalmente, por convención, es negativo, para mantener varias ecuaciones consistentes con órbitas elípticas. ${\displaystyle a\,\!}$

El semieje mayor está directamente relacionado con la energía orbital específica ( ) o energía característica de la órbita, y con la velocidad que alcanza el cuerpo cuando la distancia tiende al infinito, el exceso de velocidad hiperbólica ( ). ${\displaystyle \epsilon \,}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ o ${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

donde: es el parámetro gravitacional estándar y es la energía característica, comúnmente utilizada en la planificación de misiones interplanetarias. ${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$ ${\displaystyle C_{3}}$

Tenga en cuenta que la energía total es positiva en el caso de una trayectoria hiperbólica (mientras que es negativa en una órbita elíptica).

Excentricidad y ángulo entre aproximación y salida.

Con una trayectoria hiperbólica la excentricidad orbital ( ) es mayor que 1. La excentricidad está directamente relacionada con el ángulo entre las asíntotas. Con una excentricidad ligeramente superior a 1, la hipérbola tiene forma de "v" aguda. Las asíntotas forman ángulos rectos. Con las asíntotas están separadas más de 120 ° y la distancia del periapsis es mayor que el semieje mayor. A medida que la excentricidad aumenta aún más, el movimiento se aproxima a una línea recta. ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle e>2}$

El ángulo entre la dirección del periapsis y una asíntota del cuerpo central es la verdadera anomalía ya que la distancia tiende a infinito ( ), al igual que el ángulo externo entre las direcciones de aproximación y salida (entre asíntotas). Entonces ${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$ ${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$o ${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

Parámetro de impacto y distancia de máxima aproximación.

Trayectorias hiperbólicas seguidas por objetos que se acercan al objeto central (punto pequeño) con el mismo exceso de velocidad hiperbólica (y semieje mayor (=1)) y desde la misma dirección pero con diferentes parámetros de impacto y excentricidades. De hecho, la línea amarilla pasa alrededor del punto central, acercándose a él.

El parámetro de impacto es la distancia a la que un cuerpo, si continuara por una trayectoria imperturbable, no alcanzaría al cuerpo central en su máxima aproximación . En el caso de cuerpos que experimentan fuerzas gravitacionales y siguen trayectorias hiperbólicas, es igual al semieje menor de la hipérbola.

En el caso de que una nave espacial o un cometa se acerque a un planeta, el parámetro de impacto y el exceso de velocidad se conocerán con precisión. Si se conoce el cuerpo central, ahora se puede encontrar la trayectoria, incluyendo qué tan cerca estará el cuerpo que se aproxima en el periapsis. Si es menor que el radio del planeta, se debería esperar un impacto. La distancia de máxima aproximación, o distancia del periapsis, viene dada por:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)}$

Entonces, si un cometa que se acerca a la Tierra (radio efectivo ~6400 km) con una velocidad de 12,5 km/s (la velocidad mínima aproximada de aproximación de un cuerpo proveniente del Sistema Solar exterior ) quiere evitar una colisión con la Tierra, el parámetro de impacto necesitará tener al menos 8600 km, o un 34% más que el radio de la Tierra. Un cuerpo que se acerque a Júpiter (radio de 70.000 km) desde el Sistema Solar exterior con una velocidad de 5,5 km/s, necesitará que el parámetro de impacto sea al menos 770.000 km o 11 veces el radio de Júpiter para evitar la colisión.

Si no se conoce la masa del cuerpo central, su parámetro gravitacional estándar y, por tanto, su masa, pueden determinarse mediante la desviación del cuerpo más pequeño junto con el parámetro de impacto y la velocidad de aproximación. Como normalmente todas estas variables pueden determinarse con precisión, el sobrevuelo de una nave espacial proporcionará una buena estimación de la masa de un cuerpo.

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$¿Dónde está el ángulo en el que se desvía el cuerpo más pequeño respecto de una línea recta en su trayectoria? ${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$

Ecuaciones de movimiento

Posición

En una trayectoria hiperbólica, la verdadera anomalía está vinculada a la distancia entre los cuerpos en órbita ( ) mediante la ecuación de la órbita : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

La relación entre la verdadera anomalía θ y la anomalía excéntrica E (alternativamente, la anomalía hiperbólica H ) es: ^[3]

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$     o         o   ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$ ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

La anomalía excéntrica E está relacionada con la anomalía media M mediante la ecuación de Kepler :

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

La anomalía media es proporcional al tiempo.

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$donde μ es un parámetro gravitacional y a es el semieje mayor de la órbita.

Ángulo de la trayectoria de vuelo

El ángulo de la trayectoria de vuelo (φ) es el ángulo entre la dirección de la velocidad y la perpendicular a la dirección radial, por lo que es cero en el periapsis y tiende a 90 grados en el infinito.

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Velocidad

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria hiperbólica se puede calcular a partir de la ecuación de vis-viva como: ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+{1 \over {a}}\right)}}}$^[4]

dónde:

• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar ,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle a\,\!}$es el semieje mayor (negativo) .

Según supuestos estándar, en cualquier posición de la órbita se cumple la siguiente relación para la velocidad orbital ( ), la velocidad de escape local ( ) y el exceso de velocidad hiperbólica ( ): ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle {v_{esc}}\,}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

Tenga en cuenta que esto significa que un delta- v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar hasta la velocidad de escape da como resultado una velocidad relativamente grande en el infinito. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km/s, la suma de 0,4 km/s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02 km/s.

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

Este es un ejemplo del efecto Oberth . Lo contrario también es cierto: un cuerpo no necesita ser frenado mucho en comparación con su exceso de velocidad hiperbólica (por ejemplo, por arrastre atmosférico cerca del periapsis) para que la velocidad caiga por debajo de la velocidad de escape y, por lo tanto, para que el cuerpo sea capturado.

Trayectoria hiperbólica radial

Una trayectoria hiperbólica radial es una trayectoria no periódica en línea recta donde la velocidad relativa de los dos objetos siempre excede la velocidad de escape . Hay dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan. Esta es una órbita hiperbólica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica.

Deflexión con esfera de influencia finita

Una fórmula más precisa para el ángulo de deflexión considerando el radio de la esfera de influencia del cuerpo deflector, suponiendo un periapsis es: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R_{\text{SOI}}}$ ${\displaystyle p_{e}}$

${\displaystyle \delta =2\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1-{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}-{\frac {2\mu p_{e}}{v_{\infty }^{2}R_{\text{SOI}}^{2}}}}}}{1+{\frac {v_{\infty }^{2}p_{e}}{\mu }}-{\frac {2p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}\right)}$

Problema relativista de dos cuerpos

En el contexto del problema de los dos cuerpos en la relatividad general , las trayectorias de los objetos con suficiente energía para escapar de la atracción gravitacional del otro ya no tienen forma de hipérbola. No obstante, el término "trayectoria hiperbólica" todavía se utiliza para describir órbitas de este tipo.

Ver también

• Orbita
• ecuación orbital
• órbita de Kepler
• Lista de órbitas
• Sobrevuelo planetario
• Asteroide hiperbólico
• cometa hiperbólico

Referencias

• Vallado, David A. (2007). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones, Tercera Edición . Hawthorne, California: Hawthorne Press. ISBN 978-1-881883-14-2.

1. Entonces, Kepler; Saraiva, María de Fátima (2014). Astronomia y Astrofísica . Porto Alegre: Departamento de Astronomía - Instituto de Física de la Universidad Federal de Rio Grande do Sul. págs. 97-106.
2. "Conceptos básicos de los vuelos espaciales: mecánica orbital". Archivado desde el original el 4 de febrero de 2012 . Consultado el 28 de febrero de 2012 .
3. Peet, Matthew M. (13 de junio de 2019). "Dinámica y control de naves espaciales" (PDF) .
4. Mecánica orbital y astrodinámica por Bryan Weber: https://orbital-mechanics.space/the-orbit-equation/hyperbolic-trajectories.html

enlaces externos

• Trayectorias
• Órbitas
• Hiperbólico