En matemáticas , una secuencia de n números reales puede entenderse como una ubicación en un espacio n - dimensional . Cuando n = 7, el conjunto de todas esas ubicaciones se denomina espacio 7-dimensional . A menudo, un espacio de este tipo se estudia como un espacio vectorial , sin ninguna noción de distancia. El espacio euclidiano heptadimensional es un espacio heptadimensional equipado con una métrica euclidiana , que se define por el producto escalar . [ disputado – discutir ]
En términos más generales, el término puede referirse a un espacio vectorial de siete dimensiones sobre cualquier cuerpo , como un espacio vectorial complejo de siete dimensiones , que tiene 14 dimensiones reales. También puede referirse a una variedad de siete dimensiones, como una 7-esfera , o a una variedad de otras construcciones geométricas.
Los espacios de siete dimensiones tienen varias propiedades especiales, muchas de ellas relacionadas con los octoniones . Una propiedad especialmente distintiva es que un producto vectorial solo se puede definir en tres o siete dimensiones. Esto está relacionado con el teorema de Hurwitz , que prohíbe la existencia de estructuras algebraicas como los cuaterniones y los octoniones en dimensiones distintas de 2, 4 y 8. Las primeras esferas exóticas que se descubrieron fueron de siete dimensiones.
Un politopo en siete dimensiones se llama 7-politopo. Los más estudiados son los politopos regulares , de los cuales sólo hay tres en siete dimensiones : el 7-símplex , el 7-cubo y el 7-ortoplex . Una familia más amplia son los 7-politopos uniformes , construidos a partir de dominios de simetría fundamental de reflexión, cada dominio definido por un grupo de Coxeter . Cada politopo uniforme está definido por un diagrama de Coxeter-Dynkin anillado . El 7-demicubo es un politopo único de la familia D 7 , y 3 21 , 2 31 y 1 32 politopos de la familia E 7 .
La 6-esfera o hiperesfera en el espacio euclidiano heptadimensional es la superficie hexadimensional equidistante de un punto, por ejemplo el origen. Tiene símbolo S 6 , con definición formal para la 6-esfera con radio r de
El volumen del espacio delimitado por esta 6-esfera es
que es 4,72477 × r 7 , o 0,0369 del 7-cubo que contiene la 6-esfera
Un producto vectorial, es decir, un producto vectorial bilineal , anticonmutativo y ortogonal de dos vectores, se define en siete dimensiones. Junto con el producto vectorial más habitual en tres dimensiones, es el único producto de este tipo, a excepción de los productos triviales.
En 1956, John Milnor construyó una esfera exótica de siete dimensiones y demostró que en ella hay al menos siete estructuras diferenciables. En 1963 demostró que el número exacto de dichas estructuras es 28.
