Heptadecágono

Polígono con 17 aristas

En geometría , un heptadecágono , septadecágono o 17-gono es un polígono de diecisiete lados .

Heptadecágono regular

Un heptadecágono regular se representa mediante el símbolo de Schläfli {17}.

Construcción

Publicación de C. F. Gauss en Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung

Como 17 es un primo de Fermat , el heptadecágono regular es un polígono construible (es decir, que se puede construir utilizando un compás y una regla sin marcar ): esto fue demostrado por Carl Friedrich Gauss en 1796 a la edad de 19 años . ^[1] Esta prueba representó el primer progreso en la construcción de polígonos regulares en más de 2000 años. ^[1] La prueba de Gauss se basa en primer lugar en el hecho de que la constructibilidad es equivalente a la expresibilidad de las funciones trigonométricas del ángulo común en términos de operaciones aritméticas y extracciones de raíz cuadrada , y en segundo lugar en su prueba de que esto se puede hacer si los factores primos impares de , el número de lados del polígono regular, son primos de Fermat distintos, que son de la forma para algún entero no negativo . Por lo tanto, la construcción de un heptadecágono regular implica encontrar el coseno de en términos de raíces cuadradas. El libro de Gauss Disquisitiones Arithmeticae ^[2] da esto (en notación moderna) como ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi /17}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{17}}=&{\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\right)\\&+{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right).\\\end{aligned}}}$

Construcción gaussiana del heptadecágono regular.

Euclides ya había propuesto construcciones para el triángulo regular , el pentágono , el pentadecágono y los polígonos con 2 ^h veces más lados, pero los antiguos desconocían las construcciones basadas en los primos de Fermat distintos de 3 y 5. (Los únicos primos de Fermat conocidos son F _n para n = 0, 1, 2, 3, 4. Son 3, 5, 17, 257 y 65537.)

La construcción explícita de un heptadecágono fue dada por Herbert William Richmond en 1893. El siguiente método de construcción utiliza círculos de Carlyle , como se muestra a continuación. Con base en la construcción del 17-gono regular, uno puede construir fácilmente n -gonos donde n es el producto de 17 por 3 o 5 (o ambos) y cualquier potencia de 2: un 51-gono regular, 85-gono o 255-gono y cualquier n -gono regular con 2 ^h veces la cantidad de lados.

Construcción según Duane W. DeTemple con círculos de Carlyle, ^[4] animación 1 min 57 s

Otra construcción del heptadecágono regular utilizando regla y compás es la siguiente:

TP Stowell de Rochester, NY, respondió a una consulta de WE Heal, Wheeling, Indiana, en The Analyst en el año 1877: ^[5]

"Construir un polígono regular de diecisiete lados en un círculo. Trazar el radio CO en ángulo recto con el diámetro AB: En OC y OB, tomar OQ igual a la mitad, y OD igual a la octava parte del radio: Hacer DE y DF cada uno igual a DQ y EG y FH respectivamente iguales a EQ y FQ; tomar OK como media proporcional entre OH y OQ, y a través de K, trazar KM paralelo a AB, encontrando el semicírculo descrito en OG en M; trazar MN paralelo a OC, cortando el círculo dado en N – el arco AN es la decimoséptima parte de toda la circunferencia."

Construcción según
"enviado por TP Stowell, acreditado al Repositorio de Matemáticas de Leybourn, 1818" .
Se agregó: "Tomemos OK como media proporcional entre OH y OQ".

Construcción según
"enviado por TP Stowell, acreditado al Repositorio de Matemáticas de Leybourn, 1818" .
Se agregó: "Tome OK como media proporcional entre OH y OQ" , animación

El siguiente diseño simple proviene de Herbert William Richmond del año 1893: ^[6]

"SEA OA, OB (fig. 6) dos radios perpendiculares de un círculo. Haga OI un cuarto de OB, y el ángulo OIE un cuarto de OIA; encuentre también en OA producido un punto F tal que EIF sea 45°. Sea el círculo AF como diámetro corta a OB en K, y sea el círculo cuyo centro es E y radio EK corta a OA en N ₃ y N ₅ ; entonces, si se dibujan las ordenadas N ₃ P ₃ , N ₅ P ₅ al círculo, los arcos AP ₃ , AP ₅ serán 3/17 y 5/17 de la circunferencia."

• El punto N ₃ está muy cerca del punto central del teorema de Thales sobre AF.

Construcción según HW Richmond

Construcción según HW Richmond en forma de animación

La siguiente construcción es una variación de la construcción de HW Richmond.

Las diferencias con el original:

• El círculo k ₂ determina el punto H en lugar de la bisectriz w ₃ .
• El círculo k ₄ alrededor del punto G' (reflexión del punto G en m) produce el punto N, que ya no está tan cerca de M, para la construcción de la tangente.
• Se han cambiado algunos nombres.

Heptadecágono en principio según HW Richmond, una variación del diseño respecto al punto N

Otra construcción más reciente la da Callagy. ^[3]

Derivación trigonométrica mediante ecuaciones cuadráticas anidadas

Combine la fórmula del ángulo doble anidado con la fórmula del ángulo suplementario para obtener el polinomio cuadrático anidado a continuación.

${\displaystyle \cos {\frac {2m\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {m\pi }{17}}-1}$, Y

${\displaystyle \cos {\frac {16\pi }{17}}=\cos({\pi -{\frac {\pi }{17}}})=-\cos {\frac {\pi }{17}}=-X}$

Por lo tanto,

${\displaystyle -X=-\cos {\frac {\pi }{17}}=\cos {\frac {16\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {8\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {4\pi }{17}}-1)}^{2}-1}$

${\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {\pi }{17}}-1)}^{2}-1=2(2X^{2}-1)^{2}-1}$

Al simplificar y resolver X,

${\displaystyle 32768X^{16}-131072X^{14}+212992X^{12}-180224X^{10}+84480X^{8}-21504X^{6}+2688X^{4}-128X^{2}+1=-X}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=X={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Valor exacto de seno y coseno de.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠metro π/(17 × 2 n )⁠

Si , y entonces, dependiendo de cualquier entero m ${\displaystyle A={\sqrt {2(17\pm {\sqrt {17}})}}}$ ${\displaystyle B=({\sqrt {17}}\pm 1)}$ ${\displaystyle C=17\mp 4{\sqrt {17}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{17}}=\pm {\frac {(A\pm B)\pm 2{\sqrt {(A\mp B){\sqrt {C}}}}}{16}}}$

${\displaystyle =\pm {\frac {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\pm ({\sqrt {17}}\pm 1)\pm 2{\sqrt {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\mp ({\sqrt {17}}\pm 1)}}{\sqrt {\sqrt {17\mp {\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Por ejemplo, si m = 1

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Aquí están las expresiones simplificadas en la siguiente tabla.

Por lo tanto, aplicando inducción con m=1 y comenzando con n=0:

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}{16}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}}$y ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}$

Simetría

Simetrías de un heptadecágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Se dibujan líneas de espejo azules a través de los vértices y las aristas. Los órdenes de giro se dan en el centro.

El heptadecágono regular tiene simetría Dih ₁₇ , orden 34. Como 17 es un número primo, existe un subgrupo con simetría diedral: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclicas : Z ₁₇ , y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el heptadecágono. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. ^[7] La ​​simetría completa de la forma regular es r34 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g17 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .

Polígonos relacionados

Heptadecagramos

Un heptadecagramo es un polígono en forma de estrella de 17 lados . Existen siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli : {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} y {17/8}. Como 17 es un número primo, todas estas son estrellas regulares y no figuras compuestas.

Polígonos de Petrie

El heptadecágono regular es el polígono de Petrie para un politopo convexo regular de dimensión superior, proyectado en una proyección ortogonal sesgada :

Referencias

1. Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, Álgebra abstracta y famosas imposibilidades , Springer, 1991, ISBN  0387976612 , pág. 178.
2. Carl Friedrich Gauss "Disquisitiones Arithmeticae" eod books2ebooks, p. 662 artículo 365.
3. Callagy, James J. "El ángulo central del 17-gono regular", Mathematical Gazette 67, diciembre de 1983, 290–292.
4. Duane W. DeTemple "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions" en The American Mathematical Monthly, Volumen 98, Issuc 1 (febrero de 1991), 97-108. "4. Construcción del heptadecágono regular (17-gono)" pp. 101-104, p.103, documento web.archive, seleccionado el 28 de enero de 2017
5. Hendricks, JE (1877). "Respuesta a la consulta del Sr. Heal; TP Stowell de Rochester, NY" The Analyst: A Monthly Journal of Pure and Applied Mathematicus Vol.1 : 94–95.Consulta, por WE Heal, Wheeling, Indiana, pág. 64; fecha de acceso 30 de abril de 2017
6. Herbert W. Richmond, descripción de la ilustración "Una construcción para un polígono regular de diecisiete lados" (Fig. 6), The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 26: pp. 206–207. Consultado el 4 de diciembre de 2015.
7. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 

Lectura adicional

• Dunham, William (septiembre de 1996). «1996: un triple aniversario». Math Horizons . 4 : 8–13. doi :10.1080/10724117.1996.11974982. Archivado desde el original el 13 de julio de 2010 . Consultado el 6 de diciembre de 2009 .
• Klein, Felix et al. Problemas famosos y otras monografías . – Describe el aspecto algebraico, de Gauss.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Heptadecágono". MathWorld .Contiene una descripción de la construcción.
• "Construcción del heptadecágono". MathPages.com .
• Funciones trigonométricas del heptadecágono
• Vídeo de la BBC del nuevo centro de I+D de SolarUK
• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Eisenbud, David . "El asombroso heptadecágono (17-gon)" (vídeo) . Brady Haran . Consultado el 2 de marzo de 2015 .
• Norma OEIS : A210644