Gavilla localmente constante

Teoría de la gavilla

En topología algebraica , un haz localmente constante en un espacio topológico X es un haz en X tal que para cada x en X , existe un entorno abierto U de x tal que la restricción es un haz constante en U. También se denomina sistema local . Cuando X es un espacio estratificado , un haz construible es aproximadamente un haz que es localmente constante en cada miembro de la estratificación. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$

Un ejemplo básico es el haz de orientación en una variedad, ya que cada punto de la variedad admite un entorno abierto orientable (mientras que la variedad en sí puede no ser orientable).

Para dar otro ejemplo, sea , el haz de funciones holomorfas en X y dado por . Entonces el núcleo de P es un haz localmente constante en pero no constante allí (ya que no tiene una sección global distinta de cero). ^[1] ${\displaystyle X=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle P=z{\partial \over \partial z}-{1 \over 2}}$ ${\displaystyle X-\{0\}}$

Si es un haz localmente constante de conjuntos en un espacio X , entonces cada camino en X determina una biyección Además, dos caminos homotópicos determinan la misma biyección. Por lo tanto, existe el funtor bien definido ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p(0)}{\overset {\sim }{\to }}{\mathcal {F}}_{p(1)}.}$

${\displaystyle \Pi _{1}X\to \mathbf {Set} ,\,x\mapsto {\mathcal {F}}_{x}}$

donde es el grupoide fundamental de X : la categoría cuyos objetos son puntos de X y cuyos morfismos son clases de homotopía de caminos. Además, si X es conexo por caminos , conexo por caminos localmente y conexo de manera semilocal (por lo que X tiene una cobertura universal ), entonces cada funtor es de la forma anterior; es decir, la categoría de funtores es equivalente a la categoría de haces localmente constantes en X . ${\displaystyle \Pi _{1}X}$ ${\displaystyle \Pi _{1}X\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {Fct} (\Pi _{1}X,\mathbf {Set} )}$

Si X está localmente conexo , la adjunción entre la categoría de prehaces y fibrados se restringe a una equivalencia entre la categoría de haces localmente constantes y la categoría de espacios de recubrimiento de X. ^{[2] [3]}

Referencias

1. Kashiwara y Schapira 2002, ejemplo 2.9.14.
2. Szamuely, Tamás (2009). "Grupos fundamentales en topología". Grupos de Galois y grupos fundamentales. Cambridge University Press. pág. 57. ISBN 9780511627064.
3. Mac Lane, Saunders (1992). "Haces de conjuntos". Haces en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de topos. Ieke Moerdijk. Nueva York: Springer-Verlag. p. 104. ISBN 0-387-97710-4.OCLC 24428855  .

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002). Gavillas en colectores. vol. 292. Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-662-02661-8. ISBN 978-3-662-02661-8.
• Lurie's, J. "§ A.1. de Álgebra Superior (Última actualización: septiembre de 2017)" (PDF) .

Enlaces externos

• Haz localmente constante en el n Lab
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/locally_constant_sheaves.html (recomendado)