Gavilla en una pila algebraica

En geometría algebraica , un haz cuasi-coherente sobre una pila algebraica es una generalización de un haz cuasi-coherente sobre un esquema. La descripción más concreta es que se trata de un dato que consiste, para cada esquema S en la categoría base y en , en un haz cuasi-coherente sobre S junto con funciones que implementan las condiciones de compatibilidad entre . ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(S)}$ ${\displaystyle F_{\xi }}$ ${\displaystyle F_{\xi }}$

Para una pila Deligne–Mumford , hay una descripción más simple en términos de presentación : un haz cuasi-coherente en es uno obtenido al descender un haz cuasi-coherente en U. ^[1] Un haz cuasi-coherente en una pila Deligne–Mumford generaliza un orbifijado (en cierto sentido). ${\displaystyle U\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Las haces construibles (por ejemplo, como haces ℓ-ádicos ) también se pueden definir en una pila algebraica y aparecen como coeficientes de cohomología de una pila .

Definición

La siguiente definición es (Arbarello, Cornalba & Griffiths 2011, Capítulo XIII., Definición 2.1.)

Sea una categoría fibrada en grupoides sobre la categoría de esquemas de tipo finito sobre un cuerpo con el funtor de estructura p . Entonces un haz cuasi coherente sobre es el dato que consta de: ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

1. para cada objeto , un haz cuasi coherente en el esquema , ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle F_{\xi }}$ ${\displaystyle p(\xi )}$
2. para cada morfismo en y en la categoría base, un isomorfismo ${\displaystyle H:\xi \to \eta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle h=p(H):p(\xi )\to p(\eta )}$

   ${\displaystyle \rho _{H}:h^{*}(F_{\eta }){\overset {\simeq }{\to }}F_{\xi }}$

satisfaciendo la condición de cociclo: para cada par , ${\displaystyle H_{1}:\xi _{1}\to \xi _{2},H_{2}:\xi _{2}\to \xi _{3}}$

${\displaystyle h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {h_{1}^{*}(\rho _{H_{2}})}{\to }}h_{1}^{*}F_{\xi _{2}}{\overset {\rho _{H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}}$es igual a . ${\displaystyle h_{1}^{*}h_{2}^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\sim }{=}}(h_{2}\circ h_{1})^{*}F_{\xi _{3}}{\overset {\rho _{H_{2}\circ H_{1}}}{\to }}F_{\xi _{1}}}$

(cf. haz equivariante .)

Ejemplos

• El fibrado de Hodge en la pila de módulos de curvas algebraicas de género fijo.

Formalismo ℓ-ádico

El formalismo ℓ-ádico (teoría de haces ℓ-ádicos) se extiende a las pilas algebraicas.

Véase también

• Álgebroide de Hopf : codifica los datos de haces cuasi coherentes en un preapilado presentable como un grupoide interno a esquemas afines (o esquemas proyectivos que utilizan álgebroides de Hopf graduados)

Notas

1. Arbarello, Cornalba y Griffiths 2011, cap. XIII., § 2.

Referencias

• Arbarello, Enrico; Griffiths, Phillip (2011). Geometría de curvas algebraicas. vol. II, con una contribución de Joseph Daniel Harris . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 268.doi : 10.1007 /978-3-540-69392-5. ISBN 978-3-540-42688-2.Sr. 2807457  .
• Behrend, Kai A. (2003). "Categorías 𝑙-ádicas derivadas para pilas algebraicas". Memorias de la American Mathematical Society . 163 (774). doi : 10.1090/memo/0774 .
• Laumon, Gerard ; Moret-Bailly, Laurent (2000). Campos algébriques . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas. vol. 39. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-24899-6. ISBN 978-3-540-65761-3. Sr.  1771927.
• Olsson, Martín (2007). "Gavillas en pilas de Artin". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) . 2007 (603): 55-112. doi :10.1515/CRELLE.2007.012. S2CID  15445962. Nota editorial : Este artículo corrige un error en Campos algebricos de Laumon y Moret-Bailly .
• Rydh, David (2016). "Aproximación de haces en pilas algebraicas". International Mathematics Research Notices . 2016 (3): 717–737. arXiv : 1408.6698 . doi :10.1093/imrn/rnv142.

Enlaces externos

• https://mathoverflow.net/questions/69035/the-category-of-l-adic-sheaves
• http://math.stanford.edu/~conrad/Weil2seminar/Notes/L16.pdf Formalismo ádico, parte 2 Brian Lawrence 1 de marzo de 2017