Conexión (paquete compuesto)

Los haces compuestos desempeñan un papel destacado en la teoría de calibración con ruptura de simetría , por ejemplo, la teoría de la gravitación de calibración , la mecánica no autónoma donde es el eje del tiempo, por ejemplo, la mecánica con parámetros dependientes del tiempo, etc. Existen relaciones importantes entre las conexiones en los haces de fibras y . ${\displaystyle Y\to \Sigma \to X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \to X}$

Paquete compuesto

En geometría diferencial por haz compuesto se entiende la composición

${\displaystyle \pi :Y\to \Sigma \to X\qquad \qquad (1)}$

de haces de fibras

${\displaystyle \pi _{Y\Sigma }:Y\to \Sigma ,\qquad \pi _{\Sigma X}:\Sigma \to X.}$

Se proporciona con coordenadas de haz , donde son las coordenadas del haz en un haz de fibras , es decir, las funciones de transición de las coordenadas son independientes de las coordenadas . ${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i})}$ ${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m})}$ ${\displaystyle \Sigma \to X}$ ${\displaystyle \sigma ^{m}}$ ${\displaystyle y^{i}}$

El siguiente hecho proporciona las aplicaciones físicas mencionadas anteriormente de los fibrados compuestos. Dado el fibrado compuesto (1), sea una sección global de un fibrado de fibras , si la hay. Entonces el fibrado de pullback sobre es un subfibrado de un fibrado de fibras . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Sigma \to X}$ ${\displaystyle Y^{h}=h^{*}Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\to X}$

Fibrado principal compuesto

Por ejemplo, sea un fibrado principal con un grupo de estructura de Lie que es reducible a su subgrupo cerrado . Hay un fibrado compuesto donde es un fibrado principal con un grupo de estructura y es un fibrado de fibras asociado con . Dada una sección global de , el fibrado de pullback es un subfibrado principal reducido de con un grupo de estructura . En la teoría de gauge , las secciones de se tratan como campos de Higgs clásicos . ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P\to P/H\to X}$ ${\displaystyle P\to P/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P/H\to X}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle P/H\to X}$ ${\displaystyle h^{*}P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P/H\to X}$

Variedades de chorro de un haz compuesto

Dado el fibrado compuesto (1), considérense las variedades de chorro , , y de los fibrados , , y , respectivamente. Se proporcionan con las coordenadas adaptadas , , y ${\displaystyle Y\to \Sigma \to X}$ ${\displaystyle J^{1}\Sigma }$ ${\displaystyle J_{\Sigma }^{1}Y}$ ${\displaystyle J^{1}Y}$ ${\displaystyle \Sigma \to X}$ ${\displaystyle Y\to \Sigma }$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},\sigma _{\lambda }^{m})}$ ${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},{\widehat {y}}_{\lambda }^{i},y_{m}^{i}),}$ ${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},\sigma _{\lambda }^{m},y_{\lambda }^{i}).}$

Ahí está el mapa canónico

${\displaystyle J^{1}\Sigma \times _{\Sigma }J_{\Sigma }^{1}Y\to _{Y}J^{1}Y,\qquad y_{\lambda }^{i}=y_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m}+{\widehat {y}}_{\lambda }^{i}}$.

Conexión compuesta

Este mapa canónico define las relaciones entre las conexiones en los haces de fibras , y . Estas conexiones están dadas por las formas de conexión de valor tangente correspondientes ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \to X}$

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+\gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+A_{\lambda }^{i}\partial _{i})+d\sigma ^{m}\otimes (\partial _{m}+A_{m}^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle \Gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}).}$

Una conexión en un haz de fibras y una conexión en un haz de fibras definen una conexión. ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ ${\displaystyle Y\to \Sigma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Sigma \to X}$

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+(A_{\lambda }^{i}+A_{m}^{i}\Gamma _{\lambda }^{m})\partial _{i})}$

sobre un fibrado compuesto . Se denomina conexión compuesta . Se trata de una conexión única tal que la elevación horizontal sobre de un campo vectorial sobre mediante la conexión compuesta coincide con la composición de las elevaciones horizontales de sobre mediante una conexión y luego sobre mediante una conexión . ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle \gamma \tau }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A_{\Sigma }(\Gamma \tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A_{\Sigma }}$

Diferencial covariante vertical

Dado el fibrado compuesto (1), existe la siguiente secuencia exacta de fibrados vectoriales sobre : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to V_{\Sigma }Y\to VY\to Y\times _{\Sigma }V\Sigma \to 0,\qquad \qquad (2)}$

donde y son el fibrado tangente vertical y el fibrado cotangente vertical de . Cada conexión en un fibrado de fibras produce la división ${\displaystyle V_{\Sigma }Y}$ ${\displaystyle V_{\Sigma }^{*}Y}$ ${\displaystyle Y\to \Sigma }$ ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ ${\displaystyle Y\to \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }:TY\supset VY\ni {\dot {y}}^{i}\partial _{i}+{\dot {\sigma }}^{m}\partial _{m}\to ({\dot {y}}^{i}-A_{m}^{i}{\dot {\sigma }}^{m})\partial _{i}}$

de la secuencia exacta (2). Utilizando esta división, se puede construir un operador diferencial de primer orden

${\displaystyle {\widetilde {D}}:J^{1}Y\to T^{*}X\otimes _{Y}V_{\Sigma }Y,\qquad {\widetilde {D}}=dx^{\lambda }\otimes (y_{\lambda }^{i}-A_{\lambda }^{i}-A_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m})\partial _{i},}$

en un fibrado compuesto . Se denomina diferencial covariante vertical . Posee la siguiente propiedad importante. ${\displaystyle Y\to X}$

Sea una sección de un haz de fibras y sea el haz de pullback sobre . Cada conexión induce la conexión de pullback ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Sigma \to X}$ ${\displaystyle h^{*}Y\subset Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{\Sigma }}$

${\displaystyle A_{h}=dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+((A_{m}^{i}\circ h)\partial _{\lambda }h^{m}+(A\circ h)_{\lambda }^{i})\partial _{i}]}$

en . Entonces, la restricción de un diferencial covariante vertical a coincide con el diferencial covariante familiar en relativo a la conexión de retroceso . ${\displaystyle h^{*}Y}$ ${\displaystyle {\widetilde {D}}}$ ${\displaystyle J^{1}h^{*}Y\subset J^{1}Y}$ ${\displaystyle D^{A_{h}}}$ ${\displaystyle h^{*}Y}$ ${\displaystyle A_{h}}$

Referencias

• Saunders, D., La geometría de los haces jet. Cambridge University Press, 1989. ISBN  0-521-36948-7 .
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-2013-8 . 

Enlaces externos

• Sardanashvily, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Haces de fibras, variedades de chorro y teoría de Lagrange , Lambert Academic Publishing, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886 

Véase también

• Conexión (matemáticas)
• Conexión (colector de fibra)