Bipirámide cuadrada giroelongada

17. Johnson sólido

En geometría , la bipirámide cuadrada giroelongada es un poliedro con 16 caras triangulares. Puede construirse a partir de un antiprisma cuadrado uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a cada una de sus caras cuadradas. La misma forma también se llama hexaidecadeltahedro ^[1] , hecaidecadeltahedro ^[2] o tetrakis antiprisma cuadrado ; ^[1] estos últimos nombres significan un poliedro con 16 caras triangulares. Es un ejemplo de deltaedro y de sólido de Johnson .

El poliedro dual de la bipirámide cuadrada giroelongada es un trapezoedro truncado cuadrado con ocho pentágonos y dos cuadrados como caras. La pirámide cuadrada giroelongada aparece en química como base de la geometría molecular antiprismática cuadrada bicapipada y en optimización matemática como solución al problema de Thomson .

Construcción

Al igual que otras bipirámides giroelongadas , la bipirámide cuadrada giroelongada se puede construir uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a las caras cuadradas de un antiprisma cuadrado ; este proceso se conoce como giroelongación . ^{[3] [4]} Estas pirámides cubren cada cuadrado, reemplazándolo con cuatro triángulos equiláteros , de modo que el poliedro resultante tiene 16 triángulos equiláteros como caras. Un poliedro con solo triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . Solo hay ocho deltaedros convexos diferentes, uno de los cuales es la bipirámide cuadrada giroelongada. ^[5] De manera más general, el poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es el sólido de Johnson , y cada deltaedro convexo es un sólido de Johnson. La bipirámide cuadrada giroelongada se numera entre los sólidos de Johnson como . ^[6] ${\displaystyle J_{17}}$

Un posible sistema de coordenadas cartesianas para los vértices de una bipirámide cuadrada giroelongada, dándole una longitud de arista de 2, es: ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm 1,\pm 1,2^{-1/4}\right),\qquad &\left(\pm {\sqrt {2}},0,-2^{-1/4}\right),\\\left(0,\pm {\sqrt {2}},-2^{-1/4}\right),\qquad &\left(0,0,\pm \left(2^{-1/4}+{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Propiedades

El área de la superficie de una bipirámide cuadrada giroelongada es 16 veces el área de un triángulo equilátero, es decir: ^[4] y el volumen de una bipirámide cuadrada giroelongada se obtiene cortándola en dos pirámides cuadradas equiláteras y un antiprisma cuadrado, y luego sumando sus volúmenes: ^[4] $${\displaystyle 4{\sqrt {3}}a^{2}\approx 6.928a^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}}{3}}a^{3}\approx 1.428a^{3}.}$$

Modelo 3D de una bipirámide cuadrada giroelongada

Tiene el mismo grupo de simetría tridimensional que el antiprisma cuadrado, el grupo diedro de orden 8. Su ángulo diedro es similar al de la pirámide cuadrada giroelongada , calculando la suma del ángulo de la pirámide cuadrada equilátera y el antiprisma cuadrado de la siguiente manera: ^[7] ${\displaystyle D_{4d}}$

• el ángulo diedro de una pirámide cuadrada equilátera entre dos triángulos adyacentes, aproximadamente ${\displaystyle 109.47^{\circ }}$
• el ángulo diedro de un antiprisma cuadrado entre dos triángulos adyacentes, aproximadamente ${\displaystyle 127.55^{\circ }}$
• el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes, en el borde donde una pirámide cuadrada equilátera está unida a un antiprisma cuadrado, es , para lo cual sumando los ángulos diedros entre un cuadrado y un triángulo tanto de la pirámide como del antiprisma. ${\displaystyle 158.57^{\circ }}$

El poliedro dual de una bipirámide cuadrada giroleongada es el trapezoedro cuadrado truncado . ^{[ cita requerida ]} Tiene ocho pentágonos y dos cuadrados. ^[8]

Solicitud

La bipirámide cuadrada giroelongada se puede visualizar en la geometría de compuestos químicos como el cúmulo de átomos que rodea a un átomo central como un poliedro, y el compuesto de dicho cúmulo es la geometría molecular antiprismática cuadrada bicapipada . ^[9] Tiene 10 vértices y 24 aristas, correspondientes al poliedro cerrado con electrones esqueléticos. Un ejemplo es el anión de carburo de carbonilo de níquel Ni ₁₀ C(CO) ${\displaystyle 2n+2}$²⁻
₁₈, un compuesto químico de 22 electrones esqueléticos con diez vértices Ni(CO) ₂ y la deficiencia de dos monóxidos de carbono . ^[10]

Problema de Thomson relativo a la configuración de energía mínima de partículas cargadas sobre una esfera. La solución mínima conocida para coloca los puntos en los vértices de una bipirámide cuadrada giroelongada, inscrita en una esfera . ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=10}$

Referencias

1. Sloane, NJA ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Cúmulos de esferas duras de energía mínima", Geometría discreta y computacional , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734, S2CID  26955765
2. Pugh, Anthony (1976), Poliedro: un enfoque visual , University of California Press, pág. 35.
3. Rajwade, AR (2001), Poliedros convexos con condiciones de regularidad y el tercer problema de Hilbert, Textos y lecturas de matemáticas, Hindustan Book Agency, doi :10.1007/978-93-86279-06-4, ISBN 978-93-86279-06-4.
4. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
5. Trigg, Charles W. (1978), "Una clase infinita de deltaedros", Mathematics Magazine , 51 (1): 55–57, doi :10.2307/2689647, JSTOR  2689647.
6. Francis, Darryl (agosto de 2013), "Sólidos de Johnson y sus acrónimos", Word Ways , 46 (3): 177.
7. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169–200, doi :10.4153/cjm-1966-021-8, MR  0185507, Zbl  0132.14603.
8. de Corato, Marzio; Prosperio, Davide M.; Bernasconi, Marco; Benedek, Giorgio (2013), "Dos Clathretes C28", en Diudea, Mircea Vasile; Nagy, Csaba Levente (eds.), Diamante y nanoestructuras relacionadas , Springer, p. 80–81, doi :10.1007/978-94-007-6371-5, ISBN 978-94-007-6371-5.
9. Remhov, Arndt; Černý, Radovan (2021), "Hidroborato como nuevos electrolitos de estado sólido", en Schorr, Susan; Weidenthaler, Claudia (eds.), Cristalografía en la ciencia de los materiales: de las relaciones estructura-propiedad a la ingeniería, de Gruyter , pág. 270, ISBN 978-3-11-067485-9.
10. King, R. Bruce (1993), Aplicaciones de la teoría de grafos y la topología en química de grupos y de coordinación, CRC Press , pág. 102.