grupo de isometria

Grupo de automorfismo de un espacio métrico o espacio pseudoeuclidiano

En matemáticas , el grupo de isometría de un espacio métrico es el conjunto de todas las isometrías biyectivas (es decir, mapas biyectivos que preservan la distancia ) del espacio métrico sobre sí mismo, con la función composición como operación de grupo . ^[1] Su elemento de identidad es la función de identidad . ^[2] Los elementos del grupo de isometría a veces se denominan movimientos del espacio.

Cada grupo de isometría de un espacio métrico es un subgrupo de isometrías. Representa en la mayoría de los casos un posible conjunto de simetrías de objetos/figuras en el espacio, o funciones definidas en el espacio. Ver grupo de simetría .

Un grupo de isometría discreto es un grupo de isometría tal que para cada punto del espacio el conjunto de imágenes del punto bajo las isometrías es un conjunto discreto .

En el espacio pseudoeuclidiano la métrica se reemplaza por una forma cuadrática isotrópica ; Las transformaciones que conservan esta forma a veces se denominan "isometrías", y luego se dice que el conjunto de ellas forma un grupo de isometría del espacio pseudoeuclidiano.

Ejemplos

• El grupo de isometría del subespacio de un espacio métrico formado por los puntos de un triángulo escaleno es el grupo trivial . Un espacio similar para un triángulo isósceles es el grupo cíclico de orden dos, C ₂ . Un espacio similar para un triángulo equilátero es D ₃ , el grupo diédrico de orden 6 .
• El grupo de isometría de una esfera bidimensional es el grupo ortogonal O(3). ^[3]

• El grupo de isometría del espacio euclidiano de n dimensiones es el grupo euclidiano E ( n ). ^[4]
• El grupo de isometría del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico es el grupo unitario especial proyectivo PSU(1,1) .
• El grupo de isometría del modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico es PSL(2,R) .
• El grupo de isometría del espacio de Minkowski es el grupo de Poincaré . ^[5]

• Los espacios simétricos de Riemann son casos importantes en los que el grupo de isometría es un grupo de Lie .

Ver también

• grupo de puntos
• Grupos de puntos en dos dimensiones.
• Grupos de puntos en tres dimensiones.
• Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano.

Referencias

1. Roman, Steven (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, p. 271, ISBN 978-0-387-72828-5.
2. Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001), Un curso de geometría métrica, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 33, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, pág. 75, ISBN 0-8218-2129-6, señor  1835418.
3. Berger, Marcel (1987), Geometría. II, Universitext, Berlín: Springer-Verlag, pág. 281, doi :10.1007/978-3-540-93816-3, ISBN 3-540-17015-4, señor  0882916.
4. Olver, Peter J. (1999), Teoría invariante clásica, Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 44, Cambridge: Cambridge University Press, pág. 53, doi :10.1017/CBO9780511623660, ISBN 0-521-55821-2, señor  1694364.
5. Müller-Kirsten, Harald JW; Wiedemann, Armin (2010), Introducción a la supersimetría, World Scientific Lecture Notes in Physics, vol. 80 (2ª ed.), Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., pág. 22, doi :10.1142/7594, ISBN 978-981-4293-42-6, señor  2681020.