grupo hiperbólico

Concepto matemático

En teoría de grupos , más precisamente en teoría de grupos geométricos , un grupo hiperbólico , también conocido como grupo hiperbólico de palabras o grupo hiperbólico de Gromov , es un grupo generado finitamente equipado con una palabra métrica que satisface ciertas propiedades abstraídas de la geometría hiperbólica clásica . La noción de grupo hiperbólico fue introducida y desarrollada por Mikhail Gromov  (1987). La inspiración provino de varias teorías matemáticas existentes: geometría hiperbólica pero también topología de baja dimensión (en particular, los resultados de Max Dehn sobre el grupo fundamental de una superficie hiperbólica de Riemann , y fenómenos más complejos en topología tridimensional ), y teoría combinatoria de grupos. . En un capítulo muy influyente (más de 1.000 citas ^[1] ) de 1987, Gromov propuso un amplio programa de investigación. Las ideas y el material fundamental de la teoría de grupos hiperbólicos también provienen del trabajo de George Mostow , William Thurston , James W. Cannon , Eliyahu Rips y muchos otros.

Definición

Sea un grupo finitamente generado y su gráfico de Cayley con respecto a algún conjunto finito de generadores. El conjunto está dotado de su métrica gráfica (en la que las aristas tienen una longitud uno y la distancia entre dos vértices es el número mínimo de aristas en un camino que las conecta) que lo convierte en un espacio de longitud . Entonces se dice que el grupo es hiperbólico si es un espacio hiperbólico en el sentido de Gromov. En pocas palabras, esto significa que existe un espacio tal que cualquier triángulo geodésico es -delgado, como se ilustra en la figura de la derecha (entonces se dice que el espacio es -hiperbólico). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

A priori esta definición depende de la elección de un grupo electrógeno finito . Que este no es el caso se desprende de los dos hechos siguientes: ${\displaystyle S}$

• los gráficos de Cayley correspondientes a dos conjuntos generadores finitos son siempre cuasi isométricos entre sí;
• cualquier espacio geodésico que sea cuasi isométrico con respecto a un espacio geodésico hiperbólico de Gromov es en sí mismo hiperbólico de Gromov.

Por tanto, podemos hablar legítimamente de que un grupo generado finitamente es hiperbólico sin referirnos a un conjunto generador. Por otro lado, un espacio que es cuasi-isométrico para un espacio -hiperbólico es en sí mismo -hiperbólico para algunos , pero este último depende tanto del original como de la cuasi-isometría, por lo que no tiene sentido hablar de ser -hiperbólico. . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '>0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$

Observaciones

El lema de Švarc-Milnor ^[2] establece que si un grupo actúa adecuadamente de forma discontinua y con un cociente compacto (una acción de este tipo a menudo se denomina geométrica ) en un espacio de longitud adecuado , entonces se genera de forma finita y cualquier gráfico de Cayley es cuasi-isométrico. a . Por tanto, un grupo es (finitamente generado e) hiperbólico si y sólo si tiene una acción geométrica sobre un espacio hiperbólico propio. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$

Si es un subgrupo con índice finito (es decir, el conjunto es finito), entonces la inclusión induce una cuasi-isometría en los vértices de cualquier gráfico de Cayley localmente finito de en cualquier gráfico de Cayley localmente finito de . Por tanto, es hiperbólico si y sólo si él mismo lo es. De manera más general, si dos grupos son conmensurables , entonces uno es hiperbólico si y sólo si el otro lo es. ${\displaystyle G'\subset G}$ ${\displaystyle G/G'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

Grupos hiperbólicos elementales

Los ejemplos más simples de grupos hiperbólicos son los grupos finitos (cuyas gráficas de Cayley son de diámetro finito, por lo tanto, -hiperbólicas con igual a este diámetro). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Otro ejemplo simple lo da el grupo cíclico infinito : la gráfica de Cayley con respecto al conjunto generador es una línea, por lo que todos los triángulos son segmentos de línea y la gráfica es hiperbólica. De ello se deduce que cualquier grupo que sea virtualmente cíclico (contenga una copia de un índice finito) también es hiperbólico, por ejemplo el grupo diédrico infinito . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los miembros de esta clase de grupos suelen denominarse grupos hiperbólicos elementales (la terminología está adaptada de la de acciones en el plano hiperbólico).

Grupos libres y grupos que actúan sobre los árboles.

Sea un conjunto finito y sea el grupo libre con grupo electrógeno . Entonces el gráfico de Cayley con respecto a es un árbol localmente finito y, por tanto, un espacio hiperbólico 0. Por tanto, es un grupo hiperbólico. ${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

De manera más general, vemos que cualquier grupo que actúa adecuadamente de manera discontinua en un árbol localmente finito (en este contexto, esto significa exactamente que los estabilizadores de los vértices son finitos) es hiperbólico. De hecho, esto se deriva del hecho de que tiene un subárbol invariante sobre el que actúa con cociente compacto y el lema de Svarc-Milnor. De hecho, estos grupos son prácticamente libres (es decir, contienen un subgrupo libre de índice finito generado finitamente), lo que da otra prueba de su hiperbolicidad. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo interesante es el grupo modular : actúa sobre el árbol dado por el esqueleto 1 de la teselación asociada del plano hiperbólico y tiene un subgrupo libre de índice finito (en dos generadores) de índice 6 (por ejemplo, el conjunto de matrices en el que reducir a la identidad módulo 2 es tal grupo). Tenga en cuenta una característica interesante de este ejemplo: actúa propiamente de forma discontinua en un espacio hiperbólico (el plano hiperbólico ) pero la acción no es cocompacta (y de hecho no es cuasi isométrica con respecto al plano hiperbólico). ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

grupos fucsia

Generalizando el ejemplo del grupo modular, un grupo fucsiano es un grupo que admite una acción propiamente discontinua en el plano hiperbólico (equivalentemente, un subgrupo discreto de ). El plano hiperbólico es un espacio hiperbólico y, por tanto, el lema de Svarc-Milnor nos dice que los grupos fucsianos cocompactos son hiperbólicos. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \delta }$

Ejemplos de ello son los grupos fundamentales de superficies cerradas de característica de Euler negativa . De hecho, estas superficies se pueden obtener como cocientes del plano hiperbólico, como lo implica el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe .

Otra familia de ejemplos de grupos fucsianos cocompactos está dada por los grupos de triángulos : todos, excepto un número finito, son hiperbólicos.

Curvatura negativa

Generalizando el ejemplo de superficies cerradas, los grupos fundamentales de variedades de Riemann compactas con curvatura seccional estrictamente negativa son hiperbólicos. Por ejemplo, las redes cocompactas en el grupo ortogonal o unitario que conservan una forma de firma son hiperbólicas. ${\displaystyle (n,1)}$

Una generalización adicional la dan los grupos que admiten una acción geométrica en un espacio CAT(k) , cuando es cualquier número negativo. ^[3] Existen ejemplos que no son conmensurables con ninguna de las construcciones anteriores (por ejemplo, grupos que actúan geométricamente sobre edificios hiperbólicos ). ${\displaystyle k}$

Pequeños grupos de cancelación

Los grupos que tienen presentaciones que cumplen condiciones de cancelación pequeñas son hiperbólicos. Esto proporciona una fuente de ejemplos que no tienen un origen geométrico como los dados anteriormente. De hecho, una de las motivaciones para el desarrollo inicial de los grupos hiperbólicos fue dar una interpretación más geométrica de la cancelación pequeña.

Grupos aleatorios

En cierto sentido, "la mayoría" de los grupos presentados finitamente con grandes relaciones definitorias son hiperbólicos. Para obtener una declaración cuantitativa de lo que esto significa, consulte Grupo aleatorio .

No ejemplos

• El ejemplo más simple de un grupo que no es hiperbólico es el grupo abeliano de rango 2 libre . De hecho, es casi isométrico con respecto al plano euclidiano , que fácilmente se ve que no es hiperbólico (por ejemplo, debido a la existencia de homotecias ). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• De manera más general, cualquier grupo que contenga un subgrupo no es hiperbólico. ^{[4] [5]} En particular, las redes en grupos de Lie semisimples de rango superior y los grupos fundamentales de complementos de nudos no triviales entran en esta categoría y, por lo tanto, no son hiperbólicos. Este también es el caso del mapeo de grupos de clases de superficies hiperbólicas cerradas. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$
• Los grupos Baumslag-Solitar B ( m , n ) y cualquier grupo que contenga un subgrupo isomorfo a algún B ( m , n ) no pueden ser hiperbólicos (ya que B (1,1) = , esto generaliza el ejemplo anterior). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• Una red no uniforme en un grupo de Lie simple de rango 1 es hiperbólica si y solo si el grupo es isógeno a (de manera equivalente, el espacio simétrico asociado es el plano hiperbólico). Un ejemplo de esto lo dan los grupos de nudos hiperbólicos . Otro son los grupos Bianchi , por ejemplo . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$

Propiedades

Propiedades algebraicas

• Los grupos hiperbólicos satisfacen la alternativa de Tit : son virtualmente solucionables (esta posibilidad sólo la satisfacen los grupos hiperbólicos elementales) o tienen un subgrupo isomorfo a un grupo libre no abeliano.
• Los grupos hiperbólicos no elementales no son simples en un sentido muy fuerte: si son hiperbólicos no elementales, entonces existe un subgrupo infinito tal que ambos son infinitos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\triangleleft G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$
• No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea residualmente finito .

Propiedades geométricas

• Los grupos hiperbólicos no elementales (infinitos y no virtualmente cíclicos) siempre tienen una tasa de crecimiento exponencial (esto es una consecuencia de la alternativa de las tetas).
• Los grupos hiperbólicos satisfacen una desigualdad isoperimétrica lineal . ^[6]

Propiedades homológicas

• Los grupos hiperbólicos siempre se presentan de forma finita . De hecho, se puede construir explícitamente un complejo (el complejo Rips ) que sea contráctil y sobre el cual el grupo actúa geométricamente ^[7] por lo que es de tipo F _∞ . Cuando el grupo no tiene torsión, la acción es libre, lo que demuestra que el grupo tiene una dimensión cohomológica finita .
• En 2002, I. Mineyev demostró que los grupos hiperbólicos son exactamente aquellos grupos finitamente generados para los cuales el mapa de comparación entre la cohomología acotada y la cohomología ordinaria es sobreyectiva en todos los grados, o equivalentemente, en el grado 2. ^[8]

Propiedades algorítmicas

• Los grupos hiperbólicos tienen un problema verbal que se puede resolver . Son biautomáticos y automáticos . ^[9] De hecho, son fuertemente geodésicamente automáticos , es decir, hay una estructura automática en el grupo, donde el lenguaje aceptado por el aceptador de palabras es el conjunto de todas las palabras geodésicas.
• En 2010 se demostró que los grupos hiperbólicos tienen un marcado problema de isomorfismo decidible . ^[10] Es de destacar que esto significa que el problema del isomorfismo, los problemas de órbita (en particular el problema de la conjugación) y el problema de Whitehead son todos decidibles.
• Cannon y Swenson han demostrado que los grupos hiperbólicos con dos esferas en el infinito tienen una regla de subdivisión natural . ^[11] Esto está relacionado con la conjetura de Cannon .

Generalizaciones

Grupos relativamente hiperbólicos

Los grupos relativamente hiperbólicos son una clase que generaliza grupos hiperbólicos. En términos generales, [ ^12] es hiperbólico en relación con una colección de subgrupos si admite una acción ( no necesariamente cocompacta ) adecuadamente discontinua en un espacio hiperbólico adecuado que sea "agradable" en el límite y tal que los estabilizadores de puntos en el límite son subgrupos en . Esto es interesante cuando ambos y la acción de on no son elementales (en particular, son infinitas: por ejemplo, ¡cada grupo es hiperbólico con respecto a sí mismo a través de su acción en un solo punto!). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos interesantes en esta clase incluyen, en particular, redes no uniformes en grupos de Lie semisimples de rango 1 , por ejemplo, grupos fundamentales de variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. Los no ejemplos son celosías en grupos de Lie de rango superior y grupos de clases de mapeo.

Grupos acilíndricamente hiperbólicos

Una noción aún más general es la de un grupo acilíndicamente hiperbólico. ^[13] La acilindricidad de una acción de un grupo en un espacio métrico es un debilitamiento de la discontinuidad propia de la acción. ^[14] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Se dice que un grupo es acilíndricamente hiperbólico si admite una acción acilíndrica no elemental en un espacio hiperbólico de Gromov ( no necesariamente apropiado ). Esta noción incluye mapear grupos de clases a través de sus acciones en complejos de curvas . Las redes en grupos de Lie de rango superior (¡todavía!) no son acilíndricamente hiperbólicas.

Grupos CAT(0)

En otra dirección, se puede debilitar el supuesto sobre la curvatura en los ejemplos anteriores: un grupo CAT(0) es un grupo que admite una acción geométrica sobre un espacio CAT(0) . Esto incluye grupos cristalográficos euclidianos y redes uniformes en grupos de Lie de rango superior.

No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea CAT(0). ^[15]

Notas

1. Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, SM (ed.). Ensayos sobre teoría de grupos. Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, vol 8. Nueva York, NY: Springer. págs. 75–263.
2. Bowditch 2006, Teorema 3.6.
3. para ver una prueba de que esto incluye los ejemplos anteriores, consulte https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/
4. Ghys y de la Harpe 1990, cap. 8, jue. 37.
5. Bridson & Haefliger 1999, Capítulo 3.Γ, Corolario 3.10.
6. Bowditch 2006, (F4) en el párrafo 6.11.2.
7. Ghys y de la Harpe 1990, capítulo 4.
8. Mineyev 2002.
9. Charney 1992.
10. Dahmani y Guirardel 2011.
11. Cañón y Swenson 1998.
12. Bowditch 2012.
13. Osín 2016.
14. Con cierto detalle: pide que para cada exista tal que por cada dos puntos que estén al menos separados haya como máximo elementos satisfactorios y . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle R,N>0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle d(x,gx)<\varepsilon }$ ${\displaystyle d(y,gy)<\varepsilon }$
15. "¿Todos los grupos δ-hiperbólicos son CAT (0)?". Intercambio de pila . 10 de febrero de 2015.

Referencias

• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 319. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. SEÑOR  1744486.

• Bowditch, Brian (2006). Un curso sobre teoría de grupos geométricos (PDF) . Memorias MSJ. vol. 16. Tokio: Sociedad Matemática de Japón . doi :10.1142/e003. ISBN 4-931469-35-3. SEÑOR  2243589.

• Bowditch, Brian (2012). "Grupos relativamente hiperbólicos" (PDF) . Revista Internacional de Álgebra y Computación . 22 (3): 1250016, 66 págs. doi :10.1142/S0218196712500166. SEÑOR  2922380. S2CID  261118194.

• Cañón, James W .; Swenson, Eric L. (1998). "Reconocimiento de grupos discretos de curvatura constante en dimensión 3". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 350 (2): 809–849. doi : 10.1090/S0002-9947-98-02107-2 . SEÑOR  1458317.
• Charney, Ruth (1992). "Los grupos artin de tipo finito son biautomáticos". Annalen Matemáticas . 292 (4): 671–683. doi :10.1007/BF01444642. SEÑOR  1157320. S2CID  120654588.
• Dahmani, François; Guirardel, Vicente (2011). "El problema del isomorfismo para todos los grupos hiperbólicos". Análisis Geométrico y Funcional . 21 (2): 223–300. arXiv : 1002.2590 . doi :10.1007/s00039-011-0120-0. S2CID  115165062.
• Ghys, Étienne ; de la Harpe, Pierre, eds. (1990). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov [ Grupos hiperbólicos en la teoría de Mikhael Gromov ]. Progreso en Matemáticas (en francés). vol. 83. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi :10.1007/978-1-4684-9167-8. ISBN 0-8176-3508-4. SEÑOR  1086648.
• Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, Steve M. (ed.). Ensayos de teoría de grupos . Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas. vol. 8. Nueva York: Springer. págs. 75–263. doi :10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8. SEÑOR  0919829.
• Mineyev, Igor (2002). "La cohomología acotada caracteriza a los grupos hiperbólicos". Revista Trimestral de Matemáticas . 53 (1): 59–73. doi :10.1093/qjmath/53.1.59. SEÑOR  1887670.
• Osín, Denis (2016). "Grupos acilíndricamente hiperbólicos". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . doi : 10.1090/tran/6343. SEÑOR  3430352. S2CID  21624534.

Otras lecturas

• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov [ Geometría y teoría de grupos: grupos hiperbólicos de Gromov ]. Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 1441. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0084913. ISBN 3-540-52977-2. SEÑOR  1075994.
• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Dinamcis simbólicas y grupos hiperbólicos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1539. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0092577. ISBN 3-540-56499-3. SEÑOR  1222644.
• "Espacio hiperbólico de Gromov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]