En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Conway son los tres grupos simples esporádicos Co 1 , Co 2 y Co 3 junto con el grupo finito relacionado Co 0 introducido por ( Conway 1968, 1969).
El mayor de los grupos de Conway, Co 0 , es el grupo de automorfismos de la red Leech Λ con respecto a la adición y el producto interno . tiene orden
pero no es un grupo simple. El grupo simple Co 1 de orden.
se define como el cociente de Co 0 por su centro , que consta de las matrices escalares ±1. Los grupos Co 2 de orden.
y Co 3 de orden
consisten en los automorfismos de Λ que fijan un vector reticular de tipo 2 y tipo 3, respectivamente. Como el escalar −1 no fija ningún vector distinto de cero, estos dos grupos son isomorfos a subgrupos de Co 1 .
El producto interno de la red Leech se define como 1/8 de la suma de los productos de las respectivas coordenadas de los dos vectores multiplicando; es un número entero. La norma cuadrática de un vector es su producto interno consigo mismo, siempre un número entero par. Es común hablar del tipo de vector reticular Leech: la mitad de la norma cuadrada. Los subgrupos suelen denominarse en referencia a los tipos de puntos fijos relevantes. Esta red no tiene vectores de tipo 1.
Thomas Thompson (1983) relata cómo, alrededor de 1964, John Leech investigó empaquetamientos estrechos de esferas en espacios euclidianos de grandes dimensiones. Uno de los descubrimientos de Leech fue una red empaquetada en 24 espacios, basada en lo que llegó a llamarse red Leech Λ. Se preguntó si el grupo de simetría de su red contenía un grupo simple interesante, pero sintió que necesitaba la ayuda de alguien mejor familiarizado con la teoría de grupos. Tuvo que hacer muchas preguntas porque los matemáticos estaban preocupados por sus propios objetivos. John Conway aceptó analizar el problema. John G. Thompson dijo que le interesaría que le dieran la orden del grupo. Conway esperaba dedicar meses o años al problema, pero encontró resultados en sólo unas pocas sesiones.
Witt (1998, página 329) afirmó que encontró la red Leech en 1940 e insinuó que calculó el orden de su grupo de automorfismo Co 0 .
Conway comenzó su investigación de Co 0 con un subgrupo que llamó N , un holomorfo del código Golay binario (extendido) (como matrices diagonales con 1 o −1 como elementos diagonales) por el grupo Mathieu M 24 (como matrices de permutación ). norte ≈ 2 12 :M 24 .
Una representación estándar , utilizada a lo largo de este artículo, del código binario Golay organiza las 24 coordenadas de modo que 6 bloques consecutivos (tétradas) de 4 constituyan un sexteto .
Las matrices de Co 0 son ortogonales ; es decir, dejan invariante el producto interno. Lo inverso es la transpuesta . Co 0 no tiene matrices de determinante −1.
La red Leech se puede definir fácilmente como el módulo Z generado por el conjunto Λ 2 de todos los vectores de tipo 2, que consta de
y sus imágenes bajo N . Λ 2 bajo N cae en 3 órbitas de tamaños 1104, 97152 y 98304 . Entonces | Λ 2 | =196,560 = 2 4 ⋅3 3 ⋅5⋅7⋅13 . Conway sospechaba firmemente que Co 0 era transitivo en Λ 2 y, de hecho, encontró una nueva matriz, no monomial ni entera.
Sea η la matriz de 4 por 4
Ahora sea ζ una suma en bloque de 6 matrices: números impares cada uno de η y − η . [1] [2] ζ es una matriz simétrica y ortogonal, por lo tanto una involución . Algunos experimentos muestran que intercambia vectores entre diferentes órbitas de N.
Para calcular |Co 0 | lo mejor es considerar Λ 4 , el conjunto de vectores de tipo 4. Cualquier vector de tipo 4 es uno de exactamente 48 vectores de tipo 4 congruentes entre sí módulo 2Λ, que se dividen en 24 pares ortogonales { v , – v }. Un conjunto de 48 de estos vectores se llama marco o cruz . N tiene como órbita un marco estándar de 48 vectores de forma (±8, 0 23 ). El subgrupo que fija un marco dado es un conjugado de N . El grupo 2 12 , isomorfo al código de Golay, actúa como cambio de signo en los vectores del marco, mientras que M 24 permuta los 24 pares del marco. Se puede demostrar que Co 0 es transitivo en Λ 4 . Conway multiplicó el orden 2 12 |M 24 | de N por el número de fotogramas, siendo este último igual al cociente | Λ 4 |/48 =8,252,375 = 3 6 ⋅5 3 ⋅7⋅13 . Ese producto es el orden de cualquier subgrupo de Co 0 que contenga adecuadamente N ; por lo tanto, N es un subgrupo máximo de Co 0 y contiene 2 subgrupos de Sylow de Co 0 . N también es el subgrupo en Co 0 de todas las matrices con componentes enteros.
Dado que Λ incluye vectores de la forma (±8, 0 23 ) , Co 0 consta de matrices racionales cuyos denominadores son todos divisores de 8.
La representación más pequeña y no trivial de Co 0 sobre cualquier campo es la de 24 dimensiones proveniente de la red Leech, y esto es fiel sobre campos de características distintas a 2.
Se puede demostrar que cualquier involución en Co 0 está conjugada con un elemento del código Golay. Co 0 tiene 4 clases de conjugación de involuciones.
Se puede demostrar que una matriz de permutación de forma 2 12 es conjugada con una dodécada . Su centralizador tiene la forma 2 12 :M 12 y tiene conjugados dentro del subgrupo monomio. Cualquier matriz en esta clase de conjugación tiene traza 0.
Se puede demostrar que una matriz de permutación de forma 2 8 1 8 es conjugada con una octada ; tiene traza 8. Éste y su negativo (traza −8) tienen un centralizador común de la forma (2 1+8 ×2).O 8 + (2) , un subgrupo máximo en Co 0 .
Conway y Thompson descubrieron que cuatro grupos simples esporádicos descubiertos recientemente, descritos en actas de congresos (Brauer y Sah 1969), eran isomorfos a subgrupos o cocientes de subgrupos de Co 0 .
El propio Conway empleó una notación para estabilizadores de puntos y subespacios donde antepuso un punto. Excepcionales fueron .0 y .1 , siendo Co 0 y Co 1 . Para un número entero n ≥ 2, sea .n el estabilizador de un punto de tipo n (ver arriba) en la red Leech.
Conway luego nombró estabilizadores de planos definidos por triángulos que tienen el origen como vértice. Sea .hkl el estabilizador puntual de un triángulo con aristas (diferencias de vértices) de tipos h , k y l . El triángulo se llama comúnmente triángulo hkl . En los casos más simples Co 0 es transitivo sobre los puntos o triángulos en cuestión y los grupos estabilizadores se definen hasta la conjugación.
Conway identificó .322 con el grupo McLaughlin McL (orden898.128.000 ) y .332 con el grupo HS de Higman-Sims (orden44.352.000 ); Ambos habían sido descubiertos recientemente.
A continuación se muestra una tabla [3] [4] de algunos grupos de subredes:
Se pueden definir dos subgrupos esporádicos como cocientes de estabilizadores de estructuras en la red Leech. Identificando R 24 con C 12 y Λ con
el grupo de automorfismos resultante (es decir, el grupo de automorfismos de red Leech que preservan la estructura compleja ) cuando se divide por el grupo de seis elementos de matrices escalares complejas, da el grupo de Suzuki Suz (orden448.345.497.600 ). Este grupo fue descubierto por Michio Suzuki en 1968.
Una construcción similar da el grupo Hall-Janko J 2 (orden604,800 ) como el cociente del grupo de automorfismos cuaterniónicos de Λ por el grupo ±1 de escalares.
Los siete grupos simples descritos anteriormente comprenden lo que Robert Griess llama la segunda generación de la Familia Feliz , que consta de los 20 grupos simples esporádicos que se encuentran dentro del grupo Monster . Varios de los siete grupos contienen al menos algunos de los cinco grupos de Mathieu , que componen la primera generación .
Co 0 tiene 4 clases de conjugación de elementos de orden 3. En M 24 un elemento de forma 3 8 genera un grupo normal en una copia de S 3 , que conmuta con un subgrupo simple de orden 168. Un producto directo PSL(2,7 ) × S 3 en M 24 permuta las octadas de un trío y permuta 14 matrices diagonales dodécadas en el subgrupo monomial. En Co 0 este normalizador monomio 2 4 :PSL(2,7) × S 3 se expande a un subgrupo máximo de la forma 2.A 9 × S 3 , donde 2.A 9 es la doble cobertura del grupo alterno A 9 .
John Thompson señaló que sería fructífero investigar los normalizadores de subgrupos más pequeños de la forma 2.A n (Conway 1971, p. 242). De esta manera se encuentran varios otros subgrupos máximos de Co 0 . Además, en la cadena resultante aparecen dos grupos esporádicos.
Existe un subgrupo 2.A 8 × S 4 , el único de esta cadena que no es máximo en Co 0 . A continuación está el subgrupo (2.A 7 × PSL 2 (7)):2 . Luego viene (2.A 6 × SU 3 (3)):2 . El grupo unitario SU 3 (3) (orden6.048 ) posee un gráfico de 36 vértices, en anticipación del siguiente subgrupo. Ese subgrupo es (2.A 5 o 2.HJ):2 , en el que hace aparición el grupo HJ de Hall-Janko . El citado gráfico se expande al gráfico de Hall-Janko , con 100 vértices. Luego viene (2.A 4 o 2.G 2 (4)):2 , siendo G 2 (4) un grupo excepcional de tipo Lie .
La cadena termina con 6.Suz:2 (Suz= grupo esporádico de Suzuki ), que, como se mencionó anteriormente, respeta una representación compleja del Leech Lattice.
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el monstruoso alcohol ilegal no se limita al monstruo. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para los grupos de Conway, la serie relevante de McKay-Thompson es = {1, 0, 276,−2.048 ,11.202 ,−49,152 , ...} ( OEIS : A007246 ) y = {1, 0, 276,2.048 ,11.202 ,49,152 , ...} ( OEIS : A097340 ) donde se puede establecer el término constante a(0) = 24 ,
y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .
![{\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326324564b54ab185c9ca6f223a4212452d85ba6)
