En matemáticas , un grupo de permutación G que actúa sobre un conjunto finito no vacío X se denomina primitivo si G actúa transitivamente sobre X y las únicas particiones que la G -acción conserva son las particiones triviales en un único conjunto o en conjuntos singleton | X | . De lo contrario, si G es transitivo y G conserva una partición no trivial, G se denomina imprimitivo .
Si bien los grupos de permutación primitivos son transitivos, no todos los grupos de permutación transitivos son primitivos. El ejemplo más simple es el cuatrigrupo de Klein que actúa sobre los vértices de un cuadrado, que conserva la partición en diagonales. Por otro lado, si un grupo de permutación conserva solo particiones triviales, es transitivo, excepto en el caso del grupo trivial que actúa sobre un conjunto de 2 elementos. Esto se debe a que para una acción no transitiva, o bien las órbitas de G forman una partición no trivial preservada por G , o bien la acción del grupo es trivial, en cuyo caso todas las particiones no triviales de X (que existe para | X | ≥ 3) son preservadas por G .
Esta terminología fue introducida por Évariste Galois en su última carta, en la que utilizó el término francés équation primitive para una ecuación cuyo grupo de Galois es primitivo. [1]
En la misma carta en la que introdujo el término "primitivo", Galois enunció el siguiente teorema: [2]
Si G es un grupo resoluble primitivo que actúa sobre un conjunto finito X , entonces el orden de X es una potencia de un número primo p . Además, X puede identificarse con un espacio afín sobre el cuerpo finito con p elementos, y G actúa sobre X como un subgrupo del grupo afín .
Si el conjunto X sobre el que actúa G es finito, su cardinalidad se llama grado de G.
Un corolario de este resultado de Galois es que, si p es un número primo impar, entonces el orden de un grupo transitivo resoluble de grado p es divisor de De hecho, todo grupo transitivo de grado primo es primitivo (ya que el número de elementos de una partición fijada por G debe ser divisor de p ), y es la cardinalidad del grupo afín de un espacio afín con p elementos.
De ello se deduce que, si p es un número primo mayor que 3, el grupo simétrico y el grupo alternado de grado p no son resolubles, pues su orden es mayor que el que resulta del teorema de Abel-Ruffini y del hecho de que existen polinomios con grupo de Galois simétrico.
Una definición equivalente de primitividad se basa en el hecho de que cada acción transitiva de un grupo G es isomorfa a una acción que surge de la acción canónica de G sobre el conjunto G / H de clases laterales para H un subgrupo de G . Una acción de grupo es primitiva si es isomorfa a G / H para un subgrupo maximal H de G , e imprimitiva en caso contrario (es decir, si hay un subgrupo propio K de G del cual H es un subgrupo propio). Estas acciones imprimitivas son ejemplos de representaciones inducidas .
Los números de grupos primitivos de pequeño grado fueron establecidos por Robert Carmichael en 1937:
Hay una gran cantidad de grupos primitivos de grado 16. Como señala Carmichael, [ páginas necesarias ] todos estos grupos, excepto el grupo simétrico y alterno , son subgrupos del grupo afín en el espacio de 4 dimensiones sobre el cuerpo finito de 2 elementos .
Tanto él como el grupo generado por son primitivos.
El grupo generado por no es primitivo, ya que la partición donde y se conserva bajo , es decir, y .
