Campo de género

Extensión abeliana máxima de un cuerpo de números algebraicos

En la teoría de números algebraicos , el cuerpo de género Γ(K) de un cuerpo de números algebraicos K es la extensión abeliana máxima de K que se obtiene componiendo un cuerpo absolutamente abeliano con K y que no está ramificado en todos los primos finitos de K. El número de género de K es el grado [ Γ(K) : K ] y el grupo de género es el grupo de Galois de Γ(K) sobre K .

Si K es en sí mismo absolutamente abeliano, el cuerpo de género puede describirse como la extensión absolutamente abeliana máxima de K no ramificada en todos los primos finitos: esta definición fue utilizada por Leopoldt y Hasse.

Si K = Q ( √ m ) ( m cuadrados libres) es un cuerpo cuadrático de discriminante D , el cuerpo de género de K es un compuesto de cuerpos cuadráticos. Sea p _i el eje de los factores primos de D . Para cada uno de esos primos p , defina p ^∗ como sigue:

${\displaystyle p^{*}=\pm p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ if }}p{\text{ is odd}};}$

${\displaystyle 2^{*}=-4,8,-8{\text{ according as }}m\equiv 3{\pmod {4}},2{\pmod {8}},-2{\pmod {8}}.}$

Entonces el campo de género es el compuesto ${\displaystyle K({\sqrt {p_{i}^{*}}}).}$

Véase también

• Campo de clases de Hilbert

Referencias

• Ishida, Makoto (1976). Los campos de género de los campos de números algebraicos . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 555. Springer-Verlag . ISBN. 3-540-08000-7.Zbl 0353.12001  .
• Janusz, Gerald (1973). Campos numéricos algebraicos . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 55. Academic Press. ISBN 0-12-380250-4.Zbl 0307.12001  .
• Lemmermeyer, Franz (2000). Leyes de reciprocidad. De Euler a Eisenstein. Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-66957-4.MR  1761696.Zbl 0949.11002  .​