Grupo Janko J4

Grupo simple esporádico

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J ₄ es un grupo simple esporádico de orden

   86.775.571.046.077.562.880

= 2 ²¹  · 3 ³  · 5  · 7  · 11 ³  · 23  · 29  · 31  · 37  · 43

≈ 9 × 10¹⁹ .

Historia

J ₄ es uno de los 26 grupos esporádicos . Zvonimir Janko encontró J ₄ en 1975 estudiando grupos con un centralizador de involución de la forma 2 ^{1 + 12} .3.(M ₂₂ :2). Su existencia y unicidad fue demostrada usando cálculos de computadora por Simon P. Norton y otros en 1980. Tiene una representación modular de dimensión 112 sobre el cuerpo finito con 2 elementos y es el estabilizador de un cierto subespacio de 4995 dimensiones del cuadrado exterior, un hecho que Norton usó para construirlo, y que es la forma más fácil de tratarlo computacionalmente. Aschbacher & Segev (1991) e Ivanov (1992) dieron pruebas de unicidad sin computadora. Ivanov y Meierfrankenfeld (1999) e Ivanov (2004) dieron una prueba de existencia sin necesidad de computadora al construirla como una amalgama de grupos 2 ¹⁰ :SL ₅ (2) y (2 ¹⁰ :2 ⁴ :A ₈ ):2 sobre un grupo 2 ¹⁰ :2 ⁴ :A ₈ .

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son ambos triviales .

Como 37 y 43 no son primos supersingulares , J ₄ no puede ser un subcociente del grupo monstruo . Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .

Representaciones

La representación compleja fiel más pequeña tiene dimensión 1333; hay dos representaciones complejas conjugadas de esta dimensión. La representación fiel más pequeña sobre cualquier cuerpo es una representación de 112 dimensiones sobre el cuerpo de 2 elementos.

La representación de permutación más pequeña está en 173067389 puntos y tiene rango 20, con estabilizador de puntos de la forma 2 ¹¹ :M ₂₄ . Los puntos se pueden identificar con ciertos "vectores especiales" en la representación de 112 dimensiones.

Presentación

Tiene una presentación en términos de tres generadores a, b y c como

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{3}=c^{2}=(ab)^{23}=[a,b]^{12}=[a,bab]^{5}=[c,a]=\left((ab)^{2}ab^{-1}\right)^{3}\left(ab(ab^{-1})^{2}\right)^{3}=\left(ab\left(abab^{-1}\right)^{3}\right)^{4}\\&=\left[c,(ba)^{2}b^{-1}ab^{-1}(ab)^{3}\right]=\left(bc^{(bab^{-1}a)^{2}}\right)^{3}=\left((bababab)^{3}cc^{(ab)^{3}b(ab)^{6}b}\right)^{2}=1.\end{aligned}}}$

Alternativamente, se puede empezar con el subgrupo M ₂₄ y agregar 3975 involuciones, que se identifican con los tríos . Al agregar una cierta relación, ciertos productos de involuciones conmutativas generan el cocode binario de Golay , que se extiende al subgrupo maximal 2 ¹¹ :M ₂₄ . Bolt, Bray y Curtis demostraron, utilizando una computadora, que agregar solo una relación más es suficiente para definir J ₄ .

Subgrupos máximos

Kleidman y Wilson (1988) encontraron las 13 clases de conjugación de subgrupos máximos de J ₄ que se enumeran en la siguiente tabla.

Un subgrupo de Sylow 3 de J ₄ es un grupo de Heisenberg : orden 27, no abeliano, todos los elementos no triviales de orden 3.

Referencias

• Aschbacher, Michael ; Segev, Yoav (1991), "La unicidad de los grupos de tipo J ₄ ", Inventiones Mathematicae , 105 (3): 589–607, doi :10.1007/BF01232280, ISSN  0020-9910, MR  1117152, S2CID  121529060
• DJ Benson El grupo simple J ₄ , Tesis doctoral, Cambridge 1981, https://web.archive.org/web/20110610013308/http://www.maths.abdn.ac.uk/~bensondj/papers/b/benson/the-simple-group-J4.pdf
• Bolt, Sean W.; Bray, John R.; Curtis, Robert T. (2007), "Presentación simétrica del grupo Janko J ₄ ", Journal of the London Mathematical Society , 76 (3): 683–701, doi :10.1112/jlms/jdm086
• Ivanov, AA (1992), "Una presentación para J ₄ ", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 64 (2): 369–396, doi :10.1112/plms/s3-64.2.369, ISSN  0024-6115, MR  1143229
• Ivanov, AA; Meierfrankenfeld, Ulrich (1999), "Una construcción sin computadora de J ₄ ", Journal of Algebra , 219 (1): 113–172, doi : 10.1006/jabr.1999.7851 , ISSN  0021-8693, MR  1707666
• Ivanov, AA (2004). El cuarto grupo de Janko . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-852759-4.Señor 2124803
• Z. Janko, Un nuevo grupo finito simple de orden 86.775.570.046.077.562.880 que posee M ₂₄ y el grupo de cobertura completo de M ₂₂ como subgrupos , J. Algebra 42 (1976) 564-596. doi :10.1016/0021-8693(76)90115-0 (El título de este artículo es incorrecto, ya que más tarde se descubrió que el grupo de cobertura completo de M ₂₂ era más grande: centro de orden 12, no 6.)
• Kleidman, Peter B.; Wilson, Robert A. (1988), "Los subgrupos máximos de J ₄ ", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 56 (3): 484–510, doi :10.1112/plms/s3-56.3.484, ISSN  0024-6115, MR  0931511
• SP Norton La construcción de J ₄ en La conferencia de Santa Cruz sobre grupos finitos (Ed. Cooperstein, Mason) Amer. Math. Soc 1980.

Enlaces externos

• MathWorld: Grupos de Janko
• Atlas de representaciones de grupos finitos: versión J4 2
• Atlas de representaciones de grupos finitos: versión J4 3