Grupo simple esporádico
En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J 4 es un grupo simple esporádico de orden
- 86.775.571.046.077.562.880
- = 2 21 · 3 3 · 5 · 7 · 11 3 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43
- ≈ 9 × 1019 .
Historia
J 4 es uno de los 26 grupos esporádicos . Zvonimir Janko encontró J 4 en 1975 estudiando grupos con un centralizador de involución de la forma 2 1 + 12 .3.(M 22 :2). Su existencia y unicidad fue demostrada usando cálculos de computadora por Simon P. Norton y otros en 1980. Tiene una representación modular de dimensión 112 sobre el cuerpo finito con 2 elementos y es el estabilizador de un cierto subespacio de 4995 dimensiones del cuadrado exterior, un hecho que Norton usó para construirlo, y que es la forma más fácil de tratarlo computacionalmente. Aschbacher & Segev (1991) e Ivanov (1992) dieron pruebas de unicidad sin computadora. Ivanov y Meierfrankenfeld (1999) e Ivanov (2004) dieron una prueba de existencia sin necesidad de computadora al construirla como una amalgama de grupos 2 10 :SL 5 (2) y (2 10 :2 4 :A 8 ):2 sobre un grupo 2 10 :2 4 :A 8 .
El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son ambos triviales .
Como 37 y 43 no son primos supersingulares , J 4 no puede ser un subcociente del grupo monstruo . Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .
Representaciones
La representación compleja fiel más pequeña tiene dimensión 1333; hay dos representaciones complejas conjugadas de esta dimensión. La representación fiel más pequeña sobre cualquier cuerpo es una representación de 112 dimensiones sobre el cuerpo de 2 elementos.
La representación de permutación más pequeña está en 173067389 puntos y tiene rango 20, con estabilizador de puntos de la forma 2 11 :M 24 . Los puntos se pueden identificar con ciertos "vectores especiales" en la representación de 112 dimensiones.
Presentación
Tiene una presentación en términos de tres generadores a, b y c como
Alternativamente, se puede empezar con el subgrupo M 24 y agregar 3975 involuciones, que se identifican con los tríos . Al agregar una cierta relación, ciertos productos de involuciones conmutativas generan el cocode binario de Golay , que se extiende al subgrupo maximal 2 11 :M 24 . Bolt, Bray y Curtis demostraron, utilizando una computadora, que agregar solo una relación más es suficiente para definir J 4 .
Subgrupos máximos
Kleidman y Wilson (1988) encontraron las 13 clases de conjugación de subgrupos máximos de J 4 que se enumeran en la siguiente tabla.
Un subgrupo de Sylow 3 de J 4 es un grupo de Heisenberg : orden 27, no abeliano, todos los elementos no triviales de orden 3.
Referencias
- Aschbacher, Michael ; Segev, Yoav (1991), "La unicidad de los grupos de tipo J 4 ", Inventiones Mathematicae , 105 (3): 589–607, doi :10.1007/BF01232280, ISSN 0020-9910, MR 1117152, S2CID 121529060
- DJ Benson El grupo simple J 4 , Tesis doctoral, Cambridge 1981, https://web.archive.org/web/20110610013308/http://www.maths.abdn.ac.uk/~bensondj/papers/b/benson/the-simple-group-J4.pdf
- Bolt, Sean W.; Bray, John R.; Curtis, Robert T. (2007), "Presentación simétrica del grupo Janko J 4 ", Journal of the London Mathematical Society , 76 (3): 683–701, doi :10.1112/jlms/jdm086
- Ivanov, AA (1992), "Una presentación para J 4 ", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 64 (2): 369–396, doi :10.1112/plms/s3-64.2.369, ISSN 0024-6115, MR 1143229
- Ivanov, AA; Meierfrankenfeld, Ulrich (1999), "Una construcción sin computadora de J 4 ", Journal of Algebra , 219 (1): 113–172, doi : 10.1006/jabr.1999.7851 , ISSN 0021-8693, MR 1707666
- Ivanov, AA (2004). El cuarto grupo de Janko . Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-852759-4.Señor 2124803
- Z. Janko, Un nuevo grupo finito simple de orden 86.775.570.046.077.562.880 que posee M 24 y el grupo de cobertura completo de M 22 como subgrupos , J. Algebra 42 (1976) 564-596. doi :10.1016/0021-8693(76)90115-0 (El título de este artículo es incorrecto, ya que más tarde se descubrió que el grupo de cobertura completo de M 22 era más grande: centro de orden 12, no 6.)
- Kleidman, Peter B.; Wilson, Robert A. (1988), "Los subgrupos máximos de J 4 ", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 56 (3): 484–510, doi :10.1112/plms/s3-56.3.484, ISSN 0024-6115, MR 0931511
- SP Norton La construcción de J 4 en La conferencia de Santa Cruz sobre grupos finitos (Ed. Cooperstein, Mason) Amer. Math. Soc 1980.
Enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Janko
- Atlas de representaciones de grupos finitos: versión J4 2
- Atlas de representaciones de grupos finitos: versión J4 3