Grupo A

En matemáticas , en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de grupos , un grupo A es un tipo de grupo similar a los grupos abelianos . Los grupos fueron estudiados por primera vez en la década de 1940 por Philip Hall y todavía se estudian en la actualidad. Se sabe mucho sobre su estructura.

Definición

Un grupo A es un grupo finito con la propiedad de que todos sus subgrupos de Sylow son abelianos .

Historia

El término grupo A probablemente se utilizó por primera vez en (Hall 1940, Sec. 9), donde la atención se restringió a los grupos A solubles . La presentación de Hall fue bastante breve sin pruebas, pero sus comentarios pronto se ampliaron con pruebas en (Taunt 1949). La teoría de la representación de los grupos A se estudió en (Itô 1952). Luego, Carter publicó una relación importante entre los subgrupos de Carter y el trabajo de Hall en (Carter 1962). El trabajo de Hall, Taunt y Carter se presentó en forma de libro de texto en (Huppert 1967). El enfoque en los grupos A solubles se amplió, con la clasificación de los grupos A simples finitos en (Walter 1969) que permitió generalizar el trabajo de Taunt a los grupos finitos en (Broshi 1971). El interés en los grupos A también se amplió debido a una relación importante con las variedades de grupos discutidas en (Ol'šanskiĭ 1969). El interés moderno en los grupos A se renovó cuando nuevas técnicas de enumeración permitieron establecer límites asintóticos estrictos en el número de clases de isomorfismo distintas de los grupos A en (Venkataraman 1997).

Propiedades

Sobre los grupos A se puede decir lo siguiente:

• Todo subgrupo , grupo cociente y producto directo de grupos A son grupos A.
• Todo grupo abeliano finito es un grupo A.
• Un grupo nilpotente finito es un grupo A si y sólo si es abeliano.
• El grupo simétrico en tres puntos es un grupo A que no es abeliano.
• Todo grupo de orden libre de cubos es un grupo A.
• La longitud derivada de un grupo A puede ser arbitrariamente grande, pero no mayor que el número de divisores primos distintos del orden, establecido en (Hall 1940) y presentado en forma de libro de texto como (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.16).
• La serie nilpotente inferior coincide con la serie derivada (Hall 1940).
• Un grupo A soluble tiene un subgrupo normal abeliano máximo único (Hall 1940).
• El subgrupo de ajuste de un grupo A resoluble es igual al producto directo de los centros de los términos de la serie derivada , enunciada por primera vez en (Hall 1940), luego demostrada en (Taunt 1949) y presentada en forma de libro de texto en (Huppert 1967, Kap. VI, Satz 14.8).
• Un grupo simple finito no abeliano es un grupo A si y solo si es isomorfo al primer grupo de Janko o a PSL(2, q ) donde q > 3 y q = 2 ⁿ o q ≡ 3,5 mod 8, como se muestra en (Walter 1969).
• Todos los grupos en la variedad generada por un grupo finito son finitamente aproximables si y sólo si ese grupo es un grupo A, como se muestra en (Ol'šanskiĭ 1969).
• Al igual que los grupos Z , cuyos subgrupos de Sylow son cíclicos, los grupos A pueden ser más fáciles de estudiar que los grupos finitos generales debido a las restricciones en la estructura local. Por ejemplo, se encontró una enumeración más precisa de grupos A solubles después de una enumeración de grupos solubles con subgrupos de Sylow fijos, pero arbitrarios (Venkataraman 1997). Se da una exposición más pausada en (Blackburn, Neumann y Venkataraman 2007, Cap. 12).

Referencias

• Blackburn, Simon R.; Neumann, Peter M.; Venkataraman, Geetha (2007), Enumeración de grupos finitos , Cambridge Tracts in Mathematics no 173 (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0, OCLC  154682311
• Broshi, Aviad M. (1971), "Grupos finitos cuyos subgrupos de Sylow son abelianos", Journal of Algebra , 17 : 74–82, doi : 10.1016/0021-8693(71)90044-5 , ISSN  0021-8693, MR  0269741
• Carter, Roger W. (1962), "Subgrupos autonormalizadores y normalizadores de sistemas nilpotentes", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 12 : 535–563, doi :10.1112/plms/s3-12.1.535, MR  0140570
• Hall, Philip (1940), "La construcción de grupos solubles", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 182 : 206–214, doi :10.1515/crll.1940.182.206, ISSN  0075-4102, MR  0002877, S2CID  118354698
• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR  0224703, OCLC  527050, especialmente el capítulo VI, §14, págs. 751-760
• Itô, Noboru (1952), "Nota sobre los grupos A", Nagoya Mathematical Journal , 4 : 79–81, doi : 10.1017/S0027763000023023 , ISSN  0027-7630, MR  0047656
• Ol'šanskiĭ, A. Ju. (1969), "Variedades de grupos finitamente aproximables", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (en ruso), 33 (4): 915–927, Bibcode :1969IzMat...3..867O, doi :10.1070/IM1969v003n04ABEH000807, ISSN  0373-2436, MR  0258927
• Taunt, DR (1949), "Sobre los grupos A", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 45 (1): 24–42, Bibcode :1949PCPS...45...24T, doi :10.1017/S0305004100000414, MR  0027759, S2CID  120131175
• Venkataraman, Geetha (1997), "Enumeración de grupos solubles finitos con subgrupos abelianos de Sylow", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 48 (189): 107–125, doi :10.1093/qmath/48.1.107, MR  1439702
• Walter, John H. (1969), "La caracterización de grupos finitos con 2-subgrupos de Sylow abelianos", Annals of Mathematics , Segunda serie, 89 (3): 405–514, doi :10.2307/1970648, JSTOR  1970648, MR  0249504