Gran icosidodecaedro romo

Poliedro con 92 caras

Modelo 3D de un icosidodecaedro romo de gran tamaño

En geometría , el gran icosidodecaedro romo es un poliedro uniforme no convexo , indexado como U _57. Tiene 92 caras (80 triángulos y 12 pentagramas ), 150 aristas y 60 vértices. ^[1] Puede representarse mediante un símbolo de Schläfli sr{ 5 ⁄ 2 ,3} y un diagrama de Coxeter-Dynkin. .

Este poliedro es el miembro romo de una familia que incluye al gran icosaedro , el gran dodecaedro estrellado y el gran icosidodecaedro .

En el libro Polyhedron Models de Magnus Wenninger , el poliedro es llamado erróneamente " gran icosidodecaedro romo invertido" , y viceversa.

Coordenadas cartesianas

Sea el cero positivo del polinomio , donde es la proporción áurea . Sea el punto dado por ${\displaystyle \xi \approx 0.3990206456527105}$ ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\phi ^{-2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\xi \\\phi ^{-2}-\phi ^{-2}\xi \\-\phi ^{-3}+\phi ^{-1}\xi +2\phi ^{-1}\xi ^{2}\end{pmatrix}}}$.

Sea la matriz dada por ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle M}$es la rotación alrededor del eje en un ángulo de , en sentido antihorario. Sean las transformaciones lineales las transformaciones que envían un punto a las permutaciones pares de con un número par de signos menos. Las transformaciones constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un tetraedro regular . Las transformaciones , constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un icosaedro regular . Entonces los 60 puntos son los vértices de un gran icosaedro romo. La longitud de la arista es igual a , el circunradio es igual a , y el radio medio es igual a . ${\displaystyle (1,0,\phi )}$ ${\displaystyle 2\pi /5}$ ${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}M^{j}}$ ${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$ ${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$ ${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$ ${\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}}$ ${\displaystyle \xi {\sqrt {2-\xi }}}$ ${\displaystyle \xi }$

Para un icosidodecaedro romo grande cuya longitud de arista es 1, el radio circunscrito es

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 0.8160806747999234}$

Su radio medio es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 0.6449710596467862}$

Las cuatro raíces reales positivas del séxtico en R ² , son, en orden, los radios circunscritos del gran icosidodecaedro retrorromo (U ₇₄ ), gran icosidodecaedro romo (U ₅₇ ), gran icosidodecaedro romo invertido (U ₆₉ ) y dodecaedro romo (U ₂₉ ). $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$

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El gran hexecontaedro pentagonal (o gran ditriacontaedro petaloide ) es un poliedro isoédrico no convexo y dual del gran icosidodecaedro romo uniforme . Tiene 60 caras pentagonales irregulares que se intersecan, 120 aristas y 92 vértices.

Dimensiones

Denotemos la proporción áurea por . Sea el cero negativo del polinomio . Entonces cada cara pentagonal tiene cuatro ángulos iguales de y un ángulo de . Cada cara tiene tres aristas largas y dos cortas. La razón entre las longitudes de las aristas largas y cortas está dada por ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \xi \approx -0.199\,510\,322\,83}$ ${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$ ${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 101.508\,325\,512\,64^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 133.966\,697\,949\,42^{\circ }}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle l={\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 1.315\,765\,089\,00}$.

El ángulo diedro es igual a . Una parte de cada cara se encuentra dentro del sólido, por lo que es invisible en los modelos sólidos. Los otros dos ceros del polinomio desempeñan un papel similar en la descripción del gran hexecontaedro pentagonal invertido y del gran hexecontaedro pentagrammático . ${\displaystyle \arccos(\xi /(\xi +1))\approx 104.432\,268\,611\,86^{\circ }}$ ${\displaystyle P}$

Véase también

• Lista de poliedros uniformes
• Gran icosidodecaedro romo invertido
• Gran icosidodecaedro retrorromboide

Referencias

• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Sr.  0730208

1. Maeder, Roman. "57: gran icosidodecaedro chato". MathConsult .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Gran hexecontaedro pentagonal". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Gran icosidodecaedro romo". MathWorld .