Fórmula de masa Gell-Mann-Okubo

Fórmula de masa para hadrones

En física , la fórmula de masa de Gell-Mann-Okubo proporciona una regla de suma para las masas de hadrones dentro de un multiplete específico, determinada por su isospín ( I ) y extrañeza (o alternativamente, hipercarga ).

${\displaystyle M=a_{0}+a_{1}Y+a_{2}\left[I\left(I+1\right)-{\frac {1}{4}}Y^{2}\right],}$

donde a ₀ , a ₁ y a ₂ son parámetros libres .

La regla fue formulada por primera vez por Murray Gell-Mann en 1961 ^[1] y propuesta de forma independiente por Susumu Okubo en 1962. ^{[2] [3]} El isospin y la hipercarga son generados por SU(3) , que puede representarse mediante ocho hermitianos y sin rastro. matrices correspondientes a los "componentes" de isospin e hipercarga. Seis de las matrices corresponden al cambio de sabor y las dos últimas corresponden al tercer componente de la proyección de isospin y la hipercarga.

Teoría

La fórmula de la masa se obtuvo considerando las representaciones del álgebra de Lie su(3) . En particular, el octeto del mesón corresponde al sistema de raíces de la representación adjunta . Sin embargo, la representación más simple y de menor dimensión de su(3) es la representación fundamental , que es tridimensional, y ahora se entiende que describe la simetría de sabor aproximada de los tres quarks u , d y s . Así, el descubrimiento no sólo de una simetría su(3), sino también de esta fórmula viable para el espectro de masas, fue uno de los primeros indicadores de la existencia de los quarks.

La fórmula se basa en la hipótesis de mejora del octeto , que atribuye la dominancia de la ruptura de SU(3) al generador de hipercarga de SU(3) y, en términos modernos, a la masa relativamente mayor del extraño quark. ^{[4] [5]} ${\displaystyle Y={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}F_{8}=\operatorname {diag} (1,1,-2)/3~}$

Esta fórmula es fenomenológica y describe una relación aproximada entre las masas de mesones y bariones, y ha sido reemplazada a medida que avanza el trabajo teórico en cromodinámica cuántica , en particular la teoría de la perturbación quiral.

bariones

Utilizando los valores de I y S relevantes para bariones, la fórmula de Gell-Mann-Okubo se puede reescribir para el octeto bariónico,

${\displaystyle {\frac {N+\Xi }{2}}={\frac {3\Lambda +\Sigma }{4}}\,}$

donde N , Λ, Σ y Ξ representan la masa promedio de los bariones correspondientes. Usando la masa actual de bariones, ^[6] esto produce:

${\displaystyle {\frac {N+\Xi }{2}}=1128.5~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

y

${\displaystyle {\frac {3\Lambda +\Sigma }{4}}=1135.25~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

lo que significa que la fórmula Gell-Mann-Okubo reproduce la masa de los bariones del octeto dentro de ~0,5% de los valores medidos.

Para el decuplet bariónico, la fórmula de Gell-Mann-Okubo se puede reescribir como la regla del "espaciamiento igual"

${\displaystyle \Delta -\Sigma ^{*}=\Sigma ^{*}-\Xi ^{*}=\Xi ^{*}-\Omega =a_{1}+2a_{2}\approx \,-147~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

donde Δ, Σ ^* , Ξ ^* y Ω representan la masa promedio de los bariones correspondientes.

La famosa fórmula del decuplet bariónico permitió a Gell-Mann predecir la masa del entonces no descubierto Ω ⁻ . ^{[7] [8]}

mesones

La misma relación de masa se puede encontrar para el octeto del mesón,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}+{\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)={\frac {3\eta +\pi }{4}}}$

Usando la masa actual de mesones, ^[6] esto produce

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}+{\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)=496~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

y

${\displaystyle {\frac {3\eta +\pi }{4}}=445~\mathrm {MeV} /c^{2}}$

Debido a esta gran discrepancia, varias personas intentaron encontrar una manera de comprender el fracaso de la fórmula de los OGM en los mesones, cuando funcionaba tan bien en los bariones. En particular, la gente notó que usar el cuadrado de las masas promedio arrojaba resultados mucho mejores: ^[9]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)^{2}\right]={\frac {3\eta ^{2}+\pi ^{2}}{4}}}$

Esto ahora produce

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {K^{-}+{\bar {K}}^{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {K^{+}+K^{0}}{2}}\right)^{2}\right]=246\times 10^{3}~\mathrm {MeV^{2}} /c^{4}}$

y

${\displaystyle {\frac {3\eta ^{2}+\pi ^{2}}{4}}=230\times 10^{3}~\mathrm {MeV^{2}} /c^{4}}$

que se encuentran dentro del 5% entre sí.

Durante un tiempo, la fórmula de los OGM que implicaba el cuadrado de masas era simplemente una relación empírica ; pero más tarde se encontró una justificación para usar el cuadrado de masas ^{[10] [11]} en el contexto de la teoría de la perturbación quiral , solo para mesones pseudoescalares, ya que estos son los bosones pseudogoldstone de simetría quiral dinámicamente rota y, como tales, obedecen a Dashen. fórmula de masa. Otros mesones, como los vectoriales, no necesitan elevarse al cuadrado para que la fórmula de OGM funcione.

Ver también

• Fórmula Gell-Mann-Nishijima
• Camino Óctuple
• modelo de quarks
• SU(3)

Referencias

1. M. Gell-Mann (1961). "El método óctuple: una teoría de la simetría de interacción fuerte" (PDF) . Informe del laboratorio de sincrotrón CTSL-20. Instituto de Tecnología de California . doi :10.2172/4008239. OSTI  4008239. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
2. S. Okubo (1962). "Nota sobre la simetría unitaria en interacciones fuertes". Progresos de la Física Teórica . 27 (5): 949–966. Código bibliográfico : 1962PThPh..27..949O. doi : 10.1143/PTP.27.949 .
3. S. Okubo (1962). "Nota sobre la simetría unitaria en interacciones fuertes. II —Estados excitados de bariones—". Progresos de la Física Teórica . 28 (1): 24–32. Código bibliográfico : 1962PThPh..28...24O. doi : 10.1143/PTP.28.24 .
4. S. Coleman (1988). Aspectos de la simetría. Prensa de la Universidad de Cambridge . Secciones 1.3.5 y 1.4. ISBN 978-0-521-31827-3.
5. H. Goldberg; Y. Lehrer-Ilamed (abril de 1963). "Derivación de la fórmula de masa Gell-Mann-Okubo". Revista de Física Matemática . 4 : 501–502. doi : 10.1063/1.1703982.
6. J. Beringer; et al. ( Grupo de datos de partículas ) (2012). "Revisión de Física de Partículas". Revisión física D. 86 (1): 010001. Código bibliográfico : 2012PhRvD..86a0001B. doi : 10.1103/PhysRevD.86.010001 . hdl : 1854/LU-3822071 .y actualización parcial de 2013 para la edición de 2014.
7. M. Gell-Mann (1962). "Física de partículas extrañas. Interacciones fuertes". En J. Prentki (ed.). Actas de la Conferencia Internacional sobre Física de Altas Energías en el CERN, Ginebra, 1962 . CERN . pag. 805.
8. VE Barnes; et al. (1964). "Observación de un hiperón con extrañeza número tres" (PDF) . Cartas de revisión física . 12 (8): 204. Código bibliográfico : 1964PhRvL..12..204B. doi :10.1103/PhysRevLett.12.204. OSTI  12491965.
9. DJ Griffiths (1987). Introducción a las Partículas Elementales . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-60386-3.
10. JF Donoghue; E. Golowich; BR Holstein (1992). Dinámica del Modelo Estándar . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 188-191. ISBN 978-0-521-47652-2.
11. S. Weinberg (1996). La teoría cuántica de campos, volumen 2. Cambridge University Press . págs. 225-233. ISBN 978-0-521-55002-4.

Otras lecturas

El siguiente libro contiene la mayoría (si no todos) los artículos históricos sobre el Óctuple Vía y temas relacionados, incluida la fórmula de masa Gell-Mann-Okubo.

• M. Gell-Mann; Y. Ne'eman, eds. (1964). El Camino Óctuple (PDF) . WA Benjamín . LCCN  65013009.