Gradiente sesgado

En matemáticas , un gradiente oblicuo de una función armónica sobre un dominio simplemente conexo con dos dimensiones reales es un campo vectorial que es en todas partes ortogonal al gradiente de la función y que tiene la misma magnitud que el gradiente.

Definición

El gradiente sesgado se puede definir utilizando análisis complejo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann .

Sea una función analítica de valor complejo, donde u , v son funciones escalares de valor real de las variables reales  x ,  y . ${\displaystyle f(z(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)}$

Un gradiente sesgado se define como:

${\displaystyle \nabla ^{\perp }u(x,y)=\nabla v(x,y)}$

y de las ecuaciones de Cauchy-Riemann , se deriva que

${\displaystyle \nabla ^{\perp }u(x,y)=(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}})}$

Propiedades

El gradiente oblicuo tiene dos propiedades interesantes: es ortogonal en todas partes al gradiente de u y tiene la misma longitud:

${\displaystyle \nabla u(x,y)\cdot \nabla ^{\perp }u(x,y)=0,\rVert \nabla u\rVert =\rVert \nabla ^{\perp }u\rVert }$

Referencias

• Peter Olver , Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales, cap. 7, pág. 232