Gráfico de bonos

Un sistema simple masa-resorte-amortiguador y su forma de gráfico de enlace equivalente

Un gráfico de bonos es una representación gráfica de un sistema físico dinámico . Permite la conversión del sistema en una representación de espacio de estados . Es similar a un diagrama de bloques o un gráfico de flujo de señales , con la principal diferencia de que los arcos en los gráficos de enlaces representan un intercambio bidireccional de energía física , mientras que los de los diagramas de bloques y los gráficos de flujo de señales representan un flujo de información unidireccional . Los gráficos de enlace son de dominio multienergético (por ejemplo, mecánico, eléctrico, hidráulico, etc.) y de dominio neutro. Esto significa que un gráfico de bonos puede incorporar múltiples dominios sin problemas.

El gráfico de enlaces se compone de "vínculos" que unen los elementos de "puerto único", "puerto doble" y "puerto múltiple" (consulte los detalles a continuación). Cada enlace representa el flujo instantáneo de energía ( $dE / dt$ ) o potencia . El flujo en cada enlace se denota por un par de variables llamadas variables de potencia, similares a las variables conjugadas , cuyo producto es la potencia instantánea del enlace. Las variables de potencia se dividen en dos partes: flujo y esfuerzo . Por ejemplo, para el enlace de un sistema eléctrico, el flujo es la corriente, mientras que el esfuerzo es el voltaje. Al multiplicar la corriente y el voltaje en este ejemplo, se puede obtener la potencia instantánea del enlace.

Un bono tiene otras dos características que se describen brevemente aquí y se analizan con más detalle a continuación. Una es la convención de signos de "media flecha". Esto define la dirección asumida del flujo de energía positiva. Al igual que con los diagramas de circuitos eléctricos y los diagramas de cuerpo libre, la elección de la dirección positiva es arbitraria, con la salvedad de que el analista debe ser coherente en todo momento con la definición elegida. La otra característica es la "causalidad". Se trata de una barra vertical colocada en un solo extremo del vínculo. No es arbitrario. Como se describe a continuación, existen reglas para asignar la causalidad adecuada a un puerto determinado y reglas para la precedencia entre puertos. La causalidad explica la relación matemática entre esfuerzo y flujo. Las posiciones de las causalidades muestran cuáles de las variables de poder son dependientes y cuáles son independientes.

Si la dinámica del sistema físico que se va a modelar opera en escalas de tiempo muy variables, los comportamientos rápidos de tiempo continuo se pueden modelar como fenómenos instantáneos utilizando un gráfico de enlace híbrido . Los gráficos de bonos fueron inventados por Henry Paynter . ^[1]

Sistemas para gráfico de bonos.

Muchos sistemas se pueden expresar en términos utilizados en el gráfico de bonos. Estos términos se expresan en la siguiente tabla.

Convenciones para la siguiente tabla:

$P$ es la potencia activa ;
${\sombrero {X}}$ es un objeto matricial ;
${\vec {x}}$ es un objeto vectorial ;
$x^{\daga }$ es el conjugado hermitiano de $x$ ; es el conjugado complejo de la transpuesta de $x$ . Si $x$ es un escalar, entonces el conjugado hermitiano es el mismo que el conjugado complejo;
$D_{t}^{n}$ es la notación de Euler para diferenciación, donde: $D_{t}^{n}f(t)={\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(s)\,ds,&n=-1\\ [2pt]f(t),&n=0\\[2pt]{\dfrac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}},&n>0\end{casos} }$
${\begin{casos}\langle x\rangle ^{\alpha }:=|x|^{\alpha }\operatorname {sgn}(x)\\\langle {a}\rangle =k\langle b\rangle ^{\beta }\implica \langle b\rangle =\left({\frac {1}{k}}\langle a\rangle \right)^{1/\beta }\end{cases}}$
Factor vergente: $\phi _{L}={\begin{casos}{\textrm {Prismático}}:\ {\dfrac {\textrm {longitud}}{{\textrm {transversal}}\ {\textrm { área}}}}\\{\textrm {Cilindro}}:\ {\dfrac {\ln \left({\frac {\mathrm {radio_{out}} }{\mathrm {radius_{in}} }}\ derecha)}{2\pi \cdot {\textrm {longitud}}}}\\{\textrm {Esfera}}:\ {\dfrac {1}{4\pi \left(\mathrm {radio_{in}} \parallel \mathrm {-radius_{out}} \right)}}\end{cases}}$

Otros sistemas:

Sistema de energía termodinámico (el flujo es la tasa de entropía y el esfuerzo es la temperatura)
Sistema de energía electroquímico (el flujo es actividad química y el esfuerzo es potencial químico)
Sistema de energía termoquímico (el flujo es tasa de masa y el esfuerzo es entalpía específica de masa)
Sistema de tipo de cambio macroeconómico (el desplazamiento es una mercancía y el esfuerzo es el precio por mercancía)
Sistema de tipo de cambio microeconómico (el desplazamiento es población y el esfuerzo es PIB per cápita)

tetraedro de estado

El tetraedro de estado es un tetraedro que muestra gráficamente la conversión entre esfuerzo y flujo. La imagen adyacente muestra el tetraedro en su forma generalizada. El tetraedro se puede modificar según el dominio energético.

Usando el tetraedro de estado, se puede encontrar una relación matemática entre cualquier variable del tetraedro. Esto se hace siguiendo las flechas alrededor del diagrama y multiplicando las constantes a lo largo del camino. Por ejemplo, si quisiera encontrar la relación entre el flujo generalizado y el desplazamiento generalizado, comenzaría en $f (t)$ y luego lo integraría para obtener $q (t)$ . Se pueden ver más ejemplos de ecuaciones a continuación.

Relación entre desplazamiento generalizado y flujo generalizado.

q(t)=\int f(t)\,dt

Relación entre flujo generalizado y esfuerzo generalizado.

f(t)={\frac {1}{R}}\cdot e(t)

Relación entre flujo generalizado y impulso generalizado.

f(t)={\frac {1}{I}}\cdot p(t)

Relación entre impulso generalizado y esfuerzo generalizado.

p(t)=\int e(t)\,dt

Relación entre flujo generalizado y esfuerzo generalizado, involucrando la constante C.

e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt

Todas las relaciones matemáticas siguen siendo las mismas al cambiar de dominio de energía, solo cambian los símbolos. Esto se puede ver con los siguientes ejemplos.

Relación entre desplazamiento y velocidad.

x(t)=\int v(t)\,dt

Relación entre corriente y voltaje, esto también se conoce como ley de Ohm .

i(t)={\frac {1}{R}}V(t)

Relación entre fuerza y desplazamiento, también conocida como ley de Hooke . El signo negativo se elimina en esta ecuación porque el signo se factoriza en la forma en que apunta la flecha en el gráfico de bonos.

F(t)=kx(t)

Para los sistemas de potencia, la fórmula para la frecuencia de resonancia es la siguiente:

\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}

Para sistemas de densidad de potencia, la fórmula para la velocidad de la onda de resonancia es la siguiente:

c={\sqrt {\frac {1}{LC}}}

Componentes

Si un motor está conectado a una rueda a través de un eje, la potencia se transmite en el dominio mecánico rotacional, lo que significa que el esfuerzo y el flujo son par (τ) y velocidad angular (ω) respectivamente. Un gráfico de vínculos de palabras es un primer paso hacia un gráfico de vínculos, en el que las palabras definen los componentes. Como gráfico de enlace de palabras, este sistema se vería así:

{\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;{\text{wheel}}

τω

{\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{wheel}}

{S_{e}}\;{\overset {\textstyle e_{1}}{\underset {\textstyle f_{1}}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}

Dado que el esfuerzo siempre está por encima del flujo en el vínculo, también es posible eliminar los símbolos de esfuerzo y flujo por completo, sin perder ninguna información relevante. Sin embargo, el número del bono no debe descartarse. El ejemplo se puede ver a continuación.

{S_{e}}\;{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}

El número de enlace será importante más adelante al convertir del gráfico de enlaces a ecuaciones de espacio de estados.

Asociación de elementos

Asociación de series

Supongamos que un elemento tiene el siguiente comportamiento:

e(t)=\alpha g(q(t))

g(x)

\alpha

e(t)=\left(\sum _{i}\alpha _{i}\right)g(q(t))\implies {\begin{array}{||c||}\hline \displaystyle \alpha _{\text{eq}}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}

Asociación paralela

Supongamos que un elemento tiene el siguiente comportamiento:

e(t)=g(\alpha q(t))

g(x)

\alpha

g^{-1}\left(e(t)\right)=\alpha _{i}q_{i}(t)\implies {\frac {1}{\alpha _{i}}}g^{-1}(e(t))=q_{i}(t)\implies \left(\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\right)g^{-1}(e(t))=q(t)\implies g(g^{-1}(e(t)))=g\left({\frac {1}{\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}}}q(t)\right)\implies {\begin{array}{|c|}\hline \alpha _{\text{eq}}=\parallel _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}

Elementos de un solo puerto

Los elementos de puerto único son elementos en un gráfico de enlace que solo pueden tener un puerto.

Fuentes y sumideros

Las fuentes son elementos que representan la entrada de un sistema. Aportarán esfuerzo o fluirán hacia un sistema. Se indican con una "S" mayúscula con una "e" o una "f" minúscula para esfuerzo o flujo, respectivamente. Las fuentes siempre tendrán la flecha apuntando en dirección opuesta al elemento. Ejemplos de fuentes incluyen: motores (fuente de esfuerzo, torque), fuentes de voltaje (fuente de esfuerzo) y fuentes de corriente (fuente de flujo).

S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J\qquad {\text{and}}\qquad S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J

Los sumideros son elementos que representan la salida de un sistema. Se representan de la misma manera que las fuentes, pero la flecha apunta hacia el elemento en lugar de alejarse de él.

J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{e}\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{f}

Inercia

Los elementos de inercia se indican con una "I" mayúscula y siempre tienen poder fluyendo hacia ellos. Los elementos de inercia son elementos que almacenan energía. Por lo general, se trata de masas para sistemas mecánicos e inductores para sistemas eléctricos.

J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ I

Resistencia

Los elementos de resistencia se indican con una "R" mayúscula y siempre tienen poder fluyendo hacia ellos. Los elementos de resistencia son elementos que disipan energía. Por lo general, se trata de un amortiguador, para sistemas mecánicos, y resistencias, para sistemas eléctricos.

J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ R

Cumplimiento

Los elementos de cumplimiento se indican con una "C" mayúscula y siempre tienen energía fluyendo hacia ellos. Los elementos de cumplimiento son elementos que almacenan energía potencial. Por lo general, se trata de resortes para sistemas mecánicos y condensadores para sistemas eléctricos.

J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ C

Elementos de dos puertos

Estos elementos tienen dos puertos. Se utilizan para cambiar la potencia entre o dentro de un sistema. Al convertir de uno a otro, no se pierde energía durante la transferencia. Los elementos tienen una constante que se dará con ella. La constante se llama constante de transformador o constante de giro dependiendo del elemento que se esté utilizando. Estas constantes normalmente se mostrarán como una proporción debajo del elemento.

Transformador

Un transformador aplica una relación entre el flujo de entrada, el flujo de salida y el esfuerzo de entrada. Los ejemplos incluyen un transformador eléctrico ideal o una palanca .

denotado

{\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ TR\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}

f_{1}r=f_{2}

e_{2}r=e_{1}

giratorio

Un girador aplica una relación entre el flujo de entrada y salida y el esfuerzo de entrada y salida. Un ejemplo de giratorio es un motor de CC, que convierte el voltaje (esfuerzo eléctrico) en velocidad angular (flujo mecánico angular).

{\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ GY\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}

e_{2}=gf_{1}

e_{1}=gf_{2}.

Elementos multipuerto

Los cruces, a diferencia de los otros elementos, pueden tener cualquier número de puertos de entrada o salida. Los cruces dividen el poder entre sus puertos. Hay dos cruces distintos, el cruce 0 y el cruce 1, que difieren sólo en cómo se transmiten el esfuerzo y el flujo. Se puede combinar el mismo cruce en serie, pero no diferentes cruces en serie.

0-uniones

Las uniones 0 se comportan de tal manera que todos los valores de esfuerzo (y su integral/derivada de tiempo) son iguales en todos los enlaces, pero la suma de los valores de flujo de entrada es igual a la suma de los valores de flujo de salida, o equivalentemente, todos los flujos suman cero. En un circuito eléctrico, la unión 0 es un nodo y representa un voltaje compartido por todos los componentes en ese nodo. En un circuito mecánico, la unión 0 es una unión entre componentes y representa una fuerza compartida por todos los componentes conectados a ella.

{\text{all }}e{\text{'s are equal}}

\sum f_{\text{in}}=\sum f_{\text{out}}

A continuación se muestra un ejemplo.

{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{0}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}

Ecuaciones resultantes:

e_{1}=e_{2}=e_{3}

f_{1}=f_{2}+f_{3}

1-uniones

Las uniones 1 se comportan de manera opuesta a las uniones 0. Las uniones 1 se comportan de tal manera que todos los valores de flujo (y su integral/derivada de tiempo) son iguales en todos los enlaces, pero la suma de los valores de esfuerzo es igual a la suma de los valores de esfuerzo, o equivalentemente, todos los esfuerzos suman cero. En un circuito eléctrico, la unión 1 representa una conexión en serie entre componentes. En un circuito mecánico, la unión 1 representa una velocidad compartida por todos los componentes conectados a ella.

{\text{all }}f{\text{'s are equal}}

\sum e_{\text{in}}=\sum e_{\text{out}}

A continuación se muestra un ejemplo.

{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{1}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}

Ecuaciones resultantes:

f_{1}=f_{2}=f_{3}

e_{1}=e_{2}+e_{3}

Causalidad

Los gráficos de bonos tienen una noción de causalidad, indicando qué lado de un bono determina el esfuerzo instantáneo y cuál determina el flujo instantáneo. Al formular las ecuaciones dinámicas que describen el sistema, la causalidad define, para cada elemento del modelo, qué variable es dependiente y cuál es independiente. Al propagar gráficamente la causalidad de un elemento de modelado a otro, el análisis de modelos a gran escala se vuelve más fácil. Completar la asignación causal en un modelo de gráfico de bonos permitirá detectar situaciones de modelado en las que existe un bucle algebraico; esa es la situación cuando una variable se define recursivamente como una función de sí misma.

Como ejemplo de causalidad, consideremos un condensador en serie con una batería. No es físicamente posible cargar un capacitor instantáneamente, por lo que cualquier cosa conectada en paralelo con un capacitor necesariamente tendrá el mismo voltaje (variable de esfuerzo) que el del capacitor. De manera similar, un inductor no puede cambiar el flujo instantáneamente y, por lo tanto, cualquier componente en serie con un inductor necesariamente tendrá el mismo flujo que el inductor. Debido a que los capacitores e inductores son dispositivos pasivos, no pueden mantener su voltaje y flujo respectivos indefinidamente; los componentes a los que están conectados afectarán su voltaje y flujo respectivos, pero solo indirectamente al afectar su corriente y voltaje respectivamente.

Nota: La causalidad es una relación simétrica. Cuando un lado "provoca" esfuerzo, el otro lado "provoca" flujo.

En la notación de gráfico de vínculos, se puede agregar un trazo causal a un extremo del vínculo de poder para indicar que este lado está definiendo el flujo . En consecuencia, el lado opuesto al golpe casual controla el esfuerzo .

Las fuentes de flujo ( ) definen el flujo, por lo que albergan el accidente cerebrovascular causal: $S_{f}$

S_{f}\;|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!

S_{e}

S_{e}\;-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|

Considere un motor de par constante que impulsa una rueda, es decir, una fuente de esfuerzo ( ). Que se dibujaría de la siguiente manera: $S_{e}$

{\begin{array}{r}{\text{motor}}\\S_{e}\end{array}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;{\text{wheel}}

Simétricamente, el lado con el trazo causal (en este caso la rueda) define el flujo de la unión.

La causalidad da como resultado restricciones de compatibilidad. Es evidente que sólo un extremo de un vínculo de poder puede definir el esfuerzo y, por tanto, sólo un extremo de un vínculo puede (el otro extremo) tener un golpe causal. Además, los dos componentes pasivos con comportamiento dependiente del tiempo, y , sólo pueden tener un tipo de causalidad: un componente determina el flujo; un componente define el esfuerzo. Entonces, desde un cruce, la orientación causal preferida es la siguiente: $I$ $C$ $I$ $C$ $J$

J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;I\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;C

La razón por la que este es el método preferido para estos elementos se puede analizar más a fondo si se consideran las ecuaciones que darían mostradas por el tetraedro de estado.

f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt\qquad {\text{and}}\qquad e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt

Las ecuaciones resultantes involucran la integral de la variable de potencia independiente. Esto se prefiere al resultado de tener la causalidad al revés, lo que resulta en una derivada. Las ecuaciones se pueden ver a continuación.

e(t)=I{\dot {f}}(t)\qquad {\text{and}}\qquad f(t)=C{\dot {e}}(t)

Es posible que un gráfico de bonos tenga una barra causal en uno de estos elementos de forma no preferida. En tal caso se dice que se ha producido un "conflicto causal" en ese vínculo. Los resultados de un conflicto causal sólo se ven al escribir las ecuaciones del espacio de estados para el gráfico. Se explica con más detalle en esa sección.

Una resistencia no tiene un comportamiento dependiente del tiempo: aplica un voltaje y obtiene un flujo instantáneamente, o aplica un flujo y obtiene un voltaje instantáneamente, por lo tanto, una resistencia puede estar en cualquier extremo de un enlace causal:

J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;R\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;R

Los transformadores son pasivos, no disipan ni almacenan energía, por lo que la causalidad pasa a través de ellos:

\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;

Un giratorio transforma el flujo en esfuerzo y el esfuerzo en flujo, por lo que si el flujo se produce en un lado, el esfuerzo se produce en el otro lado y viceversa:

\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;

Cruces

En un cruce en 0, los esfuerzos son iguales; en una unión 1, los flujos son iguales. Así, con los enlaces causales, sólo un enlace puede causar el esfuerzo en una unión 0 y sólo uno puede causar el flujo en una unión 1. Así, si se conoce la causalidad de un enlace de una unión, también se conoce la causalidad de los demás. Ese vínculo se llama "vínculo fuerte".

{\text{strong bond}}\rightarrow \;\dashv \!{\overset {\textstyle \top }{\underset {\textstyle \bot }{0}}}\!\dashv \qquad {\text{and}}\qquad {\text{strong bond}}\rightarrow \;\vdash \!{\overset {\textstyle \bot }{\underset {\textstyle \top }{1}}}\!\vdash

Determinando la causalidad

Para determinar la causalidad de un gráfico de bonos se deben seguir ciertos pasos. Esos pasos son:

Dibujar barras causales de origen
Sorteo de causalidad preferida para bonos C e I
Dibuje barras causales para uniones 0 y 1, transformadores y giradores.
Dibujar barras causales del enlace R
Si ocurre un conflicto causal, cambie el vínculo C o I con la diferenciación.

A continuación se muestra un recorrido por los pasos.

{\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}

El primer paso es extraer causalidad de las fuentes, de las cuales sólo hay una. Esto da como resultado el siguiente gráfico.

{\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}

El siguiente paso es determinar la causalidad preferida para los bonos C.

{\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}

Luego aplique la causalidad para las uniones 0 y 1, transformadores y giradores.

{\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}

Sin embargo, hay un problema con el cruce 0 a la izquierda. El cruce 0 tiene dos barras causales en el cruce, pero el cruce 0 quiere una y solo una en el cruce. Esto fue provocado por haber estado en la causalidad preferente. La única forma de solucionar este problema es invertir esa barra causal. Esto da como resultado un conflicto causal; la versión corregida del gráfico se encuentra a continuación, donde representa el conflicto causal. ${\textstyle C_{2}}$ ${\textstyle \star }$

{\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\underline {\downharpoonleft }}\star &&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}

Conversión de otros sistemas

Una de las principales ventajas de utilizar gráficos de enlaces es que una vez que se tiene un gráfico de enlaces, no importa el dominio de energía original. A continuación se detallan algunos de los pasos a seguir al convertir del dominio de energía a un gráfico de enlaces.

Electromagnético

Los pasos para resolver un problema electromagnético como gráfico de enlaces son los siguientes:

Coloque una unión 0 en cada nodo
Insertar fuentes, enlaces R, I, C, TR y GY con 1 uniones
Tierra (ambos lados si hay un transformador o giratorio)
Asignar dirección de flujo de energía
Simplificar

Estos pasos se muestran más claramente en los ejemplos siguientes.

Mecánica lineal

Los pasos para resolver un problema de Mecánica Lineal como gráfico de enlaces son los siguientes:

Coloque uniones 1 para cada velocidad distinta (generalmente en una masa)
Inserte enlaces R y C en sus propias uniones 0 entre las uniones 1 donde actúan
Inserte fuentes y enlaces I en las uniones 1 donde actúan
Asignar dirección de flujo de energía
Simplificar

Estos pasos se muestran más claramente en los ejemplos siguientes.

Simplificando

El paso de simplificación es el mismo independientemente de si el sistema era electromagnético o mecánico lineal. Los pasos son:

Eliminar vínculo de potencia cero (debido al suelo o velocidad cero)
Eliminar uniones 0 y 1 con menos de tres enlaces
Simplifique la potencia paralela
Combina 0 uniones en serie.
Combina 1 uniones en serie.

Estos pasos se muestran más claramente en los ejemplos siguientes.

Poder paralelo

La potencia paralela es cuando la potencia corre en paralelo en un gráfico de enlaces. A continuación se muestra un ejemplo de potencia en paralelo.

La potencia paralela se puede simplificar recordando la relación entre esfuerzo y flujo para uniones 0 y 1. Para resolver la potencia en paralelo, primero deberás escribir todas las ecuaciones para las uniones. Para el ejemplo proporcionado, las ecuaciones se pueden ver a continuación. (Tome nota del vínculo numérico que representa la variable esfuerzo/flujo).

{\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}

Al manipular estas ecuaciones, puedes organizarlas de manera que puedas encontrar un conjunto equivalente de uniones 0 y 1 para describir la potencia paralela.

Por ejemplo, porque y puedes reemplazar las variables en la ecuación que da como resultado y desde , ahora lo sabemos . Esta relación de igualdad de dos variables de esfuerzo se puede explicar mediante una unión 0. Manipulando otras ecuaciones puedes encontrar la que describe la relación de una unión 1. Una vez que haya determinado las relaciones que necesita, puede volver a dibujar la sección de potencia paralela con las nuevas uniones. El resultado del programa de ejemplo se ve a continuación. ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$ ${\textstyle e_{2}=e_{7}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$ ${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$ $e_{1}=e_{8}$ $f_{4}=f_{5}$

Ejemplos

sistema electrico sencillo

Un circuito eléctrico simple que consta de una fuente de voltaje, una resistencia y un capacitor en serie.

El primer paso es dibujar uniones 0 en todos los nodos:

{\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}

El siguiente paso es agregar todos los elementos que actúan en su propia unión 1:

{\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}

El siguiente paso es elegir un terreno. La tierra es simplemente una unión 0 que se supondrá que no tiene voltaje. Para este caso, se elegirá que el terreno sea el cruce 0 inferior izquierdo, que está subrayado arriba. El siguiente paso es dibujar todas las flechas del gráfico de bonos. Las flechas en los cruces deben apuntar hacia el suelo (siguiendo un camino similar al de la corriente). Para elementos de resistencia, inertancia y cumplimiento, las flechas siempre apuntan hacia los elementos. El resultado de dibujar las flechas se puede ver a continuación, con el cruce 0 marcado con una estrella como suelo.

Ahora que tenemos el gráfico de Bond, podemos comenzar el proceso de simplificarlo. El primer paso es eliminar todos los nodos de tierra. Ambas uniones 0 inferiores se pueden quitar porque ambas están conectadas a tierra. El resultado se muestra a continuación.

A continuación, se pueden eliminar las uniones con menos de tres enlaces. Esto se debe a que el flujo y el esfuerzo pasan por estas uniones sin ser modificados, por lo que se pueden eliminar para permitirnos dibujar menos. El resultado se puede ver a continuación.

El último paso es aplicar la causalidad al gráfico de bonos. La aplicación de la causalidad se explicó anteriormente. El gráfico de bonos final se muestra a continuación.

Sistema eléctrico avanzado

Un sistema eléctrico más avanzado con una fuente de corriente, resistencias, condensadores y un transformador.

Si sigue los pasos de este circuito, obtendrá el siguiente gráfico de enlaces, antes de simplificarlo. Los nodos marcados con la estrella indican el suelo.

Simplificando el gráfico de bonos se obtendrá la siguiente imagen.

Por último, aplicar la causalidad dará como resultado el siguiente gráfico de bonos. El vínculo con la estrella denota un conflicto causal.

Mecánica lineal simple

Un sistema mecánico lineal simple, que consiste en una masa sobre un resorte que está sujeto a una pared. A la masa se le aplica alguna fuerza. A continuación se muestra una imagen del sistema.

Para un sistema mecánico, el primer paso es colocar una unión 1 en cada velocidad distinta; en este caso hay dos velocidades distintas, la masa y la pared. Generalmente resulta útil etiquetar las uniones 1 como referencia. El resultado está a continuación.

{\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}

El siguiente paso es dibujar los enlaces R y C en sus propias uniones 0 entre las uniones 1 donde actúan. Para este ejemplo sólo existe uno de estos enlaces, el enlace C para el resorte. Actúa entre la unión 1 que representa la masa y la unión 1 que representa la pared. El resultado está a continuación.

{\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}

A continuación desea agregar las fuentes y los enlaces I en la unión 1 donde actúan. Hay una fuente, la fuente del esfuerzo (fuerza) y un enlace, la masa de la masa, los cuales actúan en la unión 1 de la masa. El resultado se muestra a continuación.

{\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}

Se debe asignar el siguiente flujo de energía. Al igual que en los ejemplos eléctricos, la energía debe fluir hacia tierra, en este caso la unión 1 de la pared. Las excepciones a esto son los enlaces R, C o I, que siempre apuntan hacia el elemento. El gráfico de bonos resultante se muestra a continuación.

Ahora que se ha generado el gráfico de bonos, se puede simplificar. Debido a que la pared está conectada a tierra (tiene velocidad cero), puede eliminar esa unión. Como tal, la unión 0 en la que se encuentra el enlace C también se puede eliminar porque entonces tendrá menos de tres enlaces. El gráfico de bonos simplificado se puede ver a continuación.

El último paso es aplicar la causalidad; el gráfico de bonos final se puede ver a continuación.

Mecánica lineal avanzada

A continuación se puede ver un sistema mecánico lineal más avanzado.

Al igual que en el ejemplo anterior, el primer paso es hacer uniones 1 en cada una de las velocidades distantes. En este ejemplo hay tres velocidades distantes, Masa 1, Masa 2 y la pared. Luego conectas todos los enlaces y asignas el flujo de energía. El vínculo se puede ver a continuación.

A continuación, comienza el proceso de simplificación del gráfico de enlaces, eliminando la 1 unión de la pared y eliminando las uniones con menos de tres enlaces. El gráfico de bonos se puede ver a continuación.

Hay potencia paralela en el gráfico de bonos. La resolución de potencia paralela se explicó anteriormente. El resultado de resolverlo se puede ver a continuación.

Por último, aplique la causalidad; el gráfico de bonos final se puede ver a continuación.

Ecuaciones de estado

Una vez que se completa un gráfico de enlaces, se puede utilizar para generar las ecuaciones de representación del espacio de estados del sistema. La representación del espacio de estados es especialmente poderosa ya que permite resolver sistemas diferenciales complejos de orden múltiple como un sistema de ecuaciones de primer orden. La forma general de la ecuación de estado es

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)

variables de estado derivada temporal

{\textstyle \mathbf {x} (t)}

{\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}

{\textstyle \mathbf {u} (t)}

{\textstyle \mathbf {A} }

{\textstyle \mathbf {B} }

{\textstyle q(t)}

{\textstyle p(t)}

{\textstyle p(t)}

{\textstyle q(t)}

Por ejemplo, si tiene el siguiente gráfico de bonos

tendrías las siguientes matrices , y : ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$

{\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}

Las matrices de y se resuelven determinando la relación de las variables de estado y sus respectivos elementos, como se describió en el tetraedro de estado. El primer paso para resolver las ecuaciones de estado es enumerar todas las ecuaciones que rigen el gráfico de enlaces. La siguiente tabla muestra la relación entre los bonos y sus ecuaciones rectoras. ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {B} }$

"♦" denota causalidad preferida.

Para el ejemplo proporcionado,

las ecuaciones gobernantes son las siguientes.

${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
${\textstyle f_{6}=f_{7}-f_{5}}$
${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

Estas ecuaciones se pueden manipular para producir las ecuaciones de estado. Para este ejemplo, estás tratando de encontrar ecuaciones que se relacionen con y en términos de , y . ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$ ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$ ${\textstyle p_{3}(t)}$ ${\textstyle q_{6}(t)}$ ${\textstyle e_{1}(t)}$

Para comenzar, debes recordar del tetraedro de estado que, a partir de la ecuación 2, puedes reorganizarlo de manera que . se puede sustituir por la ecuación 4, mientras que en la ecuación 4, se puede reemplazar por la ecuación 3, que luego se puede reemplazar por la ecuación 5. también se puede reemplazar usando la ecuación 7, en la que se puede reemplazar por la que luego se puede reemplazar por ecuación 10. Siguiendo estas sustituciones se obtiene la primera ecuación de estado que se muestra a continuación. ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$ $e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}$ $e_{2}$ $f_{2}$ $f_{3}$ $e_{4}$ $e_{5}$ $e_{6}$

{\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)

La segunda ecuación de estado también se puede resolver recordando que . La segunda ecuación de estado se muestra a continuación. ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$

{\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)

Ambas ecuaciones se pueden reorganizar aún más en forma matricial. El resultado del cual está a continuación.

{\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}

En este punto las ecuaciones pueden tratarse como cualquier otro problema de representación en el espacio de estados .

Congresos internacionales sobre modelado de gráficos de bonos (ECMS e ICBGM)

Se puede extraer una bibliografía sobre el modelado de gráficos de bonos de las siguientes conferencias:

ECMS-2013 27.ª Conferencia europea sobre modelado y simulación, 27 al 30 de mayo de 2013, Ålesund, Noruega
ECMS-2008 22ª Conferencia Europea sobre Modelado y Simulación, 3 al 6 de junio de 2008 Nicosia, Chipre
ICBGM-2007: Octava Conferencia Internacional sobre Modelado y Simulación de Gráficos de Bonos, 15 al 17 de enero de 2007, San Diego, California, EE. UU.
ECMS-2006 20ª Conferencia Europea sobre Modelado y Simulación, 28 al 31 de mayo de 2006, Bonn, Alemania
IMAACA-2005 Multiconferencia Internacional de Modelización del Mediterráneo
Conferencia internacional ICBGM-2005 sobre simulación y modelado de gráficos de bonos, 23 al 27 de enero de 2005, Nueva Orleans, Luisiana, EE. UU. - Artículos
Conferencia internacional ICBGM-2003 sobre simulación y modelado de gráficos de bonos (ICBGM'2003), 19 al 23 de enero de 2003, Orlando, Florida, EE. UU. - Artículos
14º Simposio europeo de simulación 23 al 26 de octubre de 2002 Dresde, Alemania
ESS'2001 13.º Simposio europeo de simulación, Marsella, Francia, 18 al 20 de octubre de 2001
Conferencia internacional ICBGM-2001 sobre simulación y modelado de gráficos de bonos (ICBGM 2001), Phoenix, Arizona, EE. UU.
Multiconferencia europea de simulación, 23-26 de mayo de 2000, Gante, Bélgica
XI Simposio europeo de simulación, 26 al 28 de octubre de 1999 Castillo, Universidad Friedrich-Alexander, Erlangen-Nuremberg, Alemania
ICBGM-1999 Conferencia internacional sobre simulación y modelado de gráficos de bonos 17 al 20 de enero de 1999 San Francisco, California
ESS-97 9º Simposio europeo de simulación y exposición de simulación en la industria, Passau, Alemania, 19 al 22 de octubre de 1997
ICBGM-1997 Tercera conferencia internacional sobre modelado y simulación de gráficos de bonos, 12 al 15 de enero de 1997, Hotel Sheraton-Crescent, Phoenix, Arizona
11ª Multiconferencia Europea de Simulación Estambul, Turquía, 1 al 4 de junio de 1997
ESM-1996 Décima multiconferencia europea anual de simulación Budapest, Hungría, 2 al 6 de junio de 1996
ICBGM-1995 Int. Conf. sobre simulación y modelado de gráficos de bonos (ICBGM'95), 15 al 18 de enero de 1995, Las Vegas, Nevada.

Ver también

Software de simulación de 20 simulaciones basado en la teoría de grafos de enlaces
Software de simulación AMESim basado en la teoría de grafos de enlaces.
Gráfico de enlace híbrido
Coenergía

Referencias

^ Paynter, Henry M. (1961). Análisis y Diseño de Sistemas de Ingeniería . La prensa del MIT. ISBN 0-262-16004-8.
^ "Modelado de gráficos de enlaces de sistemas de ingeniería" (PDF) .

Otras lecturas

Kypurós, Javier (2013). Dinámica y control de sistemas con modelado de gráficos de enlaces . Boca Ratón: Taylor y Francis. doi :10.1201/b14676. ISBN 978-1-4665-6075-8.
Paynter, Henry M. (1960). Análisis y diseño de sistemas de ingeniería . Prensa del MIT. ISBN 0-262-16004-8.
Karnopp, Dean C.; Margolis, Donald L.; Rosenberg, Ronald C. (1990). Dinámica de sistemas: un enfoque unificado . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62171-4.
Thoma, Jean Ulrich (1975). Gráficos de bonos: introducción y aplicaciones . Oxford: Prensa de Pérgamo. ISBN 0-08-018882-6.
Gawthrop, Peter J.; Smith, Lorcan PS (1996). Metamodelado: gráficos de enlaces y sistemas dinámicos . Londres: Prentice Hall. ISBN 0-13-489824-9.
Marrón, Forbes T. (2007). Dinámica de sistemas de ingeniería: un enfoque unificado centrado en gráficos . Boca Ratón: Taylor y Francis. ISBN 0-8493-9648-4.
Mukherjee, Amalendu; Karmakar, Ranjit (2000). Modelado y simulación de sistemas de ingeniería mediante bondgraphs . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 978-0-8493-0982-3.
Gawthrop, PJ; Equilibrio, DJ (1999). "Capítulo 2: Cálculo simbólico para la manipulación de gráficos de enlaces jerárquicos". En Munro, N. (ed.). Métodos simbólicos en análisis y diseño de sistemas de control . Londres: Institución de Ingenieros Eléctricos. págs. 23-52. ISBN 0-85296-943-0.
Borutzky, Wolfgang (2010). Metodología del gráfico de bonos . Londres: Springer. doi :10.1007/978-1-84882-882-7. ISBN 978-1-84882-881-0.
http://www.site.uottawa.ca/~rhabash/ESSModelFluid.pdf Explica el modelado del gráfico de enlaces en el dominio fluido.
http://www.dartmouth.edu/~sullivan/22files/Fluid_sys_anal_w_chart.pdf Explica el modelado del gráfico de enlaces en el dominio de fluidos.

enlaces externos

Simscape Biblioteca complementaria oficial de MATLAB/Simulink para programación de gráficos de enlaces gráficos
BG V.2.1 Biblioteca complementaria MATLAB/Simulink gratuita para programación de gráficos de enlaces gráficos