En el campo matemático de la teoría de grafos , el grafo de Schläfli , llamado así en honor a Ludwig Schläfli , es un grafo no dirigido de 16 regulares con 27 vértices y 216 aristas. Es un gráfico fuertemente regular con parámetros srg(27, 16, 10, 8).
La gráfica de intersección de las 27 líneas en una superficie cúbica es una gráfica localmente lineal que es el complemento de la gráfica de Schläfli. Es decir, dos vértices son adyacentes en el gráfico de Schläfli si y sólo si el par de líneas correspondientes están sesgados . [1]
El gráfico de Schläfli también se puede construir a partir del sistema de vectores de ocho dimensiones.
y los otros 24 vectores obtenidos permutando las primeras seis coordenadas de estos tres vectores. Estos 27 vectores corresponden a los vértices del gráfico de Schläfli; dos vértices son adyacentes si y sólo si los dos vectores correspondientes tienen 1 como producto interno . [2]
Alternativamente, este gráfico puede verse como el complemento del gráfico de colinealidad del cuadrilátero generalizado GQ(2, 4).
La vecindad de cualquier vértice en el gráfico de Schläfli forma un subgrafo de 16 vértices en el que cada vértice tiene 10 vecinos (los números 16 y 10 provienen de los parámetros del gráfico de Schläfli como un gráfico fuertemente regular). Estos subgrafos son todos isomórficos al gráfico de complemento del gráfico de Clebsch . [1] [3] Dado que el gráfico de Clebsch no tiene triángulos , el gráfico de Schläfli no tiene garras . Desempeña un papel importante en la teoría de la estructura de gráficos sin garras de Chudnovsky y Seymour (2005).
Dos líneas sesgadas cualesquiera de estas 27 pertenecen a una configuración única de Schläfli doble seis , un conjunto de 12 líneas cuyo gráfico de intersección es un gráfico de corona en el que las dos líneas tienen vecindades disjuntas. En consecuencia, en el gráfico de Schläfli, cada arista uv pertenece únicamente a un subgrafo en forma de producto cartesiano de gráficos completos K 6 K 2 de tal manera que u y v pertenecen a diferentes subgrafos K 6 del producto. El gráfico de Schläfli tiene un total de 36 subgrafos de esta forma, uno de los cuales consta de los vectores cero-uno en la representación de ocho dimensiones descrita anteriormente. [2]
Un gráfico se define como k -ultrahomogéneo si cada isomorfismo entre dos de sus subgrafos inducidos de como máximo k vértices se puede extender a un automorfismo de todo el gráfico. Si una gráfica es 5-ultrahomogénea, es ultrahomogénea para cada k ; las únicas gráficas finitas conectadas de este tipo son las gráficas completas , las gráficas de Turán , las gráficas de torre de 3 × 3 y las de 5 ciclos . El gráfico infinito de Rado es contablemente ultrahomogéneo. Solo hay dos gráficos conectados que son 4 ultrahomogéneos pero no 5 ultrahomogéneos: el gráfico de Schläfli y su complemento. La prueba se basa en la clasificación de grupos finitos simples . [4]
