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Giroides

Una superficie mínima giroidea, coloreada para mostrar la curvatura gaussiana en cada punto
Modelo 3D de una célula unitaria giroidea

Un giroide es una superficie mínima triplemente periódica infinitamente conectada descubierta por Alan Schoen en 1970. [1] [2] Surge de forma natural en la ciencia y la biología de los polímeros, como una interfaz con una gran área superficial.

Historia y propiedades

El giroide es el único miembro incrustado no trivial de la familia asociada de las superficies P y D de Schwarz . Su ángulo de asociación con respecto a la superficie D es de aproximadamente 38,01°. El giroide es similar al lidinoide .

El giroide fue descubierto en 1970 por el científico de la NASA Alan Schoen . Calculó el ángulo de asociación y dio una demostración convincente de imágenes de modelos plásticos intrincados, pero no proporcionó una prueba de incrustación. Schoen notó que el giroide no contiene líneas rectas ni simetrías planas. Karcher [3] dio un tratamiento diferente y más contemporáneo de la superficie en 1989 usando la construcción de superficies conjugadas. En 1996 Große-Brauckmann y Wohlgemuth [4] demostraron que está incrustado, y en 1997 Große-Brauckmann proporcionó variantes CMC ( curvatura media constante ) del giroide e hizo investigaciones numéricas adicionales sobre las fracciones de volumen de los giroides mínimos y CMC.

El giroide divide el espacio en dos laberintos de pasajes opuestos y congruentes. El grupo espacial del giroide es I4 1 32 (n.° 214). [5] Los canales recorren los laberintos del giroide en las direcciones (100) y (111); los pasajes emergen en ángulos de 70,5 grados con respecto a cualquier canal dado que se recorra, y la dirección en la que lo hacen gira a lo largo del canal, lo que da lugar al nombre de "giroide". Una forma de visualizar la superficie es imaginar los "catenoides cuadrados" de la superficie P (formados por dos cuadrados en planos paralelos, con una cintura casi circular); la rotación sobre los bordes del cuadrado genera la superficie P. En la familia asociada, estos catenoides cuadrados se "abren" (de manera similar a la forma en que el catenoide se "abre" en un helicoide) para formar cintas giratorias, y luego finalmente se convierten en la superficie D de Schwarz . Para un valor del parámetro de familia asociado, las cintas giratorias se ubican exactamente en las ubicaciones requeridas para tener una superficie incrustada.

El giroide se refiere al miembro que está en la familia asociada de la superficie Schwarz P, pero de hecho el giroide existe en varias familias que preservan varias simetrías de la superficie; una discusión más completa de las familias de estas superficies mínimas aparece en superficies mínimas triplemente periódicas .

Curiosamente, al igual que otras superficies mínimas triplemente periódicas, la superficie giroidea se puede aproximar trigonométricamente mediante una ecuación corta:

La estructura giroidea está estrechamente relacionada con el cristal K 4 (gráfico de circunferencia diez de Laves) . [6]

Aplicaciones

Micrografía SEM de la nanoestructura giroide alternada de TiO 2 (arriba) y de la nanoestructura giroide doble de Ta 2 O 5 (abajo).

En la naturaleza, las estructuras giroides autoensambladas se encuentran en ciertas mesofases lipídicas o surfactantes [7] y copolímeros en bloque . En un diagrama de fases de copolímero dibloque AB típico, la fase giroide se puede formar en fracciones de volumen intermedias entre las fases lamelar y cilíndrica. En los copolímeros en bloque ABC, se pueden formar las fases dobles y giroides alternas. [8] Estas estructuras poliméricas autoensambladas han encontrado aplicaciones en supercondensadores experimentales , [9] células solares, [10] fotocatalizadores, [11] y membranas nanoporosas. [12] Las estructuras de membrana giroidea se encuentran ocasionalmente dentro de las células. [13] Las estructuras giroideas tienen brechas de banda fotónica que las convierten en cristales fotónicos potenciales . [14] Se han observado cristales fotónicos giroides individuales en coloraciones estructurales biológicas como escamas de alas de mariposa y plumas de aves, lo que inspira el trabajo sobre materiales biomiméticos . [15] [16] [17] Las membranas mitocondriales giroides que se encuentran en las células del cono retiniano de ciertas especies de musarañas arbóreas presentan una estructura única que puede tener una función óptica. [18]

En 2017, investigadores del MIT estudiaron la posibilidad de utilizar la forma giroidea para convertir materiales bidimensionales, como el grafeno , en un material estructural tridimensional con baja densidad, pero alta resistencia a la tracción . [19]

Investigadores de la Universidad de Cambridge han demostrado la deposición química controlada de vapores de giroides de grafeno de menos de 60 nm. Estas estructuras entrelazadas son una de las estructuras tridimensionales de grafeno independientes más pequeñas. Son conductivas, mecánicamente estables y fácilmente transferibles, y resultan interesantes para una amplia gama de aplicaciones. [20]

El patrón giroide también ha encontrado uso en la impresión 3D para estructuras internas livianas, debido a su alta resistencia, combinada con la velocidad y facilidad de impresión utilizando una impresora 3D FDM . [21] [22]

En un estudio in silico , investigadores del hospital universitario Charité de Berlín investigaron el potencial de la arquitectura giroidea cuando se utiliza como andamio en un gran defecto óseo en un fémur de rata. Al comparar el hueso regenerado dentro de un andamio giroide con un andamio tradicional tipo puntal, descubrieron que los andamios giroideos conducían a una menor formación ósea y atribuyeron esta formación ósea reducida a la arquitectura giroidea que dificulta la penetración celular. [23]

Referencias

  1. ^ Schoen, Alan H. (mayo de 1970). Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones (PDF) (informe técnico). Nota técnica de la NASA. NASA . NASA TN D-5541.
  2. ^ Hoffman, David (25 de junio – 27 de julio de 2001). "Computing Minimal Surfaces". Teoría global de superficies mínimas. Actas del Clay Mathematics Institute. Berkeley, California: Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas. ISBN 9780821835876.OCLC 57134637  .
  3. ^ Karcher, Hermann (1989). "Las superficies mínimas triplemente periódicas de Alan Schoen y sus compañeras de curvatura media constante". Manuscripta Mathematica . 64 (3): 291–357. doi :10.1007/BF01165824. ISSN  0025-2611. S2CID  119894224.
  4. ^ Große-Brauckmann, Karsten; Meinhard, Wohlgemuth (1996). "El giroide está incrustado y tiene compañeros de curvatura media constante". Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . 4 (6): 499–523. doi :10.1007/BF01261761. hdl : 10068/184059 . ISSN  0944-2669. S2CID  120479308.
  5. ^ Lambert, Charla A.; Radzilowski, Leonard H.; Thomas, Edwin L. (1996). "Superficies de nivel triplemente periódicas para morfologías de copolímeros en bloque cúbicos tricontinuos". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 354 (1715): 2009–2023. doi :10.1098/rsta.1996.0089. ISSN  1471-2962. S2CID  121697168.
  6. ^ Sunada, T. (2008). "Cristales que la naturaleza podría no crear" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 55 : 208–215.
  7. ^ Longley, William; McIntosh, Thomas J. (1983). "Una estructura tetraédrica bicontinua en un lípido cristalino líquido". Nature . 303 (5918). Springer Science and Business Media LLC: 612–614. Código Bibliográfico :1983Natur.303..612L. doi :10.1038/303612a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4315071.
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